CAD에서는 자유곡선·곡면을 표현하기 위해 NURBS(Non-Uniform Rational B-spline, 비 균일유리 B스플라인)가 자주 이용되고 있으며 Armonicos 의 소프트웨어에서도 폭넓게 사용하고 있습니다.
이번에는 이 NURBS에 대해 간단히 소개합니다.

B-spline 곡선

$p$다음($p+1$층)의 B-spline 곡선의 일반식은 다음과 같습니다.

\boldsymbol{C}(u)=\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)\boldsymbol{P}_{i}

여기서 $\boldsymbol{C}(u)$ 는 파라미터 $u$ 에 대응하는 곡선 상점, $\boldsymbol{P}$ 는 제어점 (개수는 $n+1$), $p$ 는 차수, $N_{i,p}(u)$는 기본 함수(혼합 함수)라고 합니다.

기본 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

N_{i,0}(u)=\left\{
\begin{array}{ll}
1 & if \quad u_{i} \leq u \leq u_{i+1} \\
0 & otherwise
\end{array}
\right.

N_{i,p}(u)=\frac{u-u_{i}}{u_{i+p}-u_{i}}N_{i,p-1}(u)+\frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}N_{i+1,p-1}(u)

여기서 $u_{i},u_{i+1}$ 등은 매듭(knot)이라 하고, 매듭이 오름차순으로 늘어선 벡터는 매듭 벡터(knot vector)라고 합니다.

임의의 파라미터 위치에서 각 기저 함수의 값의 합은 1입니다.

매듭 벡터 { $0,0,0,0.2,0.4,0.6,0.8,0.8,1.0,1.0,1.0$ }의 2차 기본 함수를 플로팅한 이미지:

NURBS 곡선

B-spline의 각 제어점에의 「영향력」을 나타내는 가중치($w$:weight)를 붙이면 유리(rational)가 되어, B-spline 곡선을 표현할 수 없는 원뿔 곡선 등의 형상을 표현할 수 있습니다.
$p$다음($p+1$층)의 NURBS 곡선의 일반식은 다음과 같습니다.

\boldsymbol{C}(u)=\frac{\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)w_{i}\boldsymbol{P}_{i}}{\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)w_{i}}

모든 가중치가 1.0이면 B-spline 곡선의 일반식이 된다는 것을 알 수 있습니다.

spScan 에서 NURBS 곡선 편집 기능:

NURBS 곡면

NURBS의 개념을 $u$, $v$ 두 방향의 파라미터로 확장하면 NURBS 곡면을 얻을 수 있습니다.

\boldsymbol{S}(u,v)=\frac{\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}N_{i,p}(u)N_{j,q}(v)w_{i,j}\boldsymbol{P}_{i}}{\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}N_{i,p}(u)N_{j,q}(v)w_{i,j}}

여기서 $\boldsymbol{S}(u,v)$는 파라미터 u,v에 대응하는 곡면 상점, $\boldsymbol{P}$는 제어점($u$ 방향의 개수는 $n+1$ , $v$ 방향의 개수는 $m+1$), $p$는 $u$ 방향의 차수, $q$는 $v$ 방향의 차수, $N_{i,p}(u)$는 $ u$ 방향, $N_{j,q}(v)$ 는 $v$ 방향의 기본 함수입니다.

spScan 에서 NURBS 곡면 편집 기능:

NURBS 솔리드

NURBS 곡면의 개념에 한 방향의 매개변수를 더 추가하면 "두께"가 있는 곡면, 즉 솔리드(볼륨)를 표현할 수 있습니다.
IGA(Isogeometric Analysis) 등의 해석 분야에서 이용되고 있습니다.

NURBS 솔리드(볼륨):

출처: T. Martin, E. Cohen, and R.M. Kirby, “Volumetric parameterization and trivariate B-spline fitting using harmonic functions”, inComputer Aided Geometric Design, Vol. 26, No. 6, pp. 648-664, Fig. 12 , (2009).

참고문헌

수식 출처 : L. Piegl, W. Tiller, The NURBS Book, Springer, pp. 50-128, (1996).

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