치환 그룹의 계산 과정은 이해하기 어렵다.

치환군의 계산 과정은 알기 어려운 것은, 함수와 같은 것인데 기법이 그다지 함수적이지 않기 때문이라고 생각합니다.

예를 들어, f(g(x)) 라고 쓰여지면, y=g(x)를 먼저 계산해, f(y)를 계산한다고 하는 것은, 지금까지의 방법을 답습해 식변형 할 수 있네요.

개요

(1 2 3)(2 4) ≠ (2 4)(1 2 3) 을 예로 함수적인 식변형으로 풀어본다.
σ, τ를 다음과 같이 정한다.

\sigma = (1 \,\,\, 2 \,\,\, 3) = \left(
  \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3 & 4 \\
   2 & 3 & 1 & 4
  \end{array}
\right), \tau = (2 \,\,\, 4) = \left(
  \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3 & 4 \\
   1 & 4 & 3 & 2
  \end{array}
\right)

그림 해 보면 이런 느낌으로 비 교환 가능합니다.

함수적으로 중복으로 표현식이 변형 된 예

이하, σ∘τ를 이미지의 부분을 그다지 생략하지 않고 써 보았다.

\begin{align*}
\sigma \circ \tau
&=
\left(
  \begin{array}{cccc}
   1 & 2 & 3 & 4 \\
   \sigma(\tau(1)) & \sigma(\tau(2)) & \sigma(\tau(3)) & \sigma(\tau(4))
  \end{array}
\right) \\
&=
\left(
  \begin{array}{cccc}
   1 & 2 & 3 & 4 \\
   \sigma\left(\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{array}\right)(1)\right) &
   \sigma\left(\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{array}\right)(2)\right) &
   \sigma\left(\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{array}\right)(3)\right) &
   \sigma\left(\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{array}\right)(4)\right)
  \end{array}
\right) \\
&=
\left(
  \begin{array}{cccc}
   1 & 2 & 3 & 4 \\
   \sigma(1) & \sigma(4) & \sigma(3) & \sigma(2)
  \end{array}
\right) \\
&=
\left(
  \begin{array}{cccc}
   1 & 2 & 3 & 4 \\
   \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{array}\right)\left(1\right) &
   \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{array}\right)\left(4\right) &
   \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{array}\right)\left(3\right) &
   \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{array}\right)\left(2\right)
  \end{array}
\right) \\
&=
\left(
  \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3 & 4 \\
   2 & 4 & 1 & 3
  \end{array}
\right) \\
&= \{1 \mapsto 2, 2 \mapsto 4, 3 \mapsto 1, 4 \mapsto 3 \} \\
&= (1 \,\,\, 2 \,\,\, 4 \,\,\, 3) \\
\end{align*}

마찬가지로 τ ∘ σ 는 이런 느낌.

\begin{align*}
\tau \circ \sigma
&=
\left(
  \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3 & 4 \\
   \tau(\sigma(1)) & \tau(\sigma(2)) & \tau(\sigma(3)) & \tau(\sigma(4))
  \end{array}
\right) \\
&=
\left(
  \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3 & 4 \\
   \tau\left(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{array}\right)(1)\right) &
   \tau\left(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{array}\right)(2)\right) &
   \tau\left(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{array}\right)(3)\right) &
   \tau\left(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{array}\right)(4)\right)
  \end{array}
\right) \\
&=
\left(
  \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3 & 4 \\
   \tau(2) & \tau(3) & \tau(1) & \tau(4)
  \end{array}
\right) \\
&=
\left(
  \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3 & 4 \\
   \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{array}\right)(2) &
   \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{array}\right)(3) &
   \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{array}\right)(1) &
   \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{array}\right)(4)
  \end{array}
\right) \\
&=
\left(
  \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3 & 4 \\
   4 & 3 & 1 & 2
  \end{array}
\right) \\
&= \{1 \mapsto 4, 2 \mapsto 3, 3 \mapsto 1, 4 \mapsto 2 \} \\
&= (1 \,\,\, 4 \,\,\, 2 \,\,\, 3) \\
\end{align*}

사의 집합으로 식 변형하는 예

1 → 2, 2-> 3, 3-> 1로 옮기는 함수를 (1 2 3) (x)라고 생각하고, (1 2 3) (1) = 2라든지, (람다 식처럼) 취급해 보았다 예.
덧붙여서 (1 2 3)의 예라면, 1, 2, 3 이외는 n -> n 와 같은 값으로 옮긴다.

\begin{aligned}
\tau \circ \sigma(X=\{1, 2, 3, 4\})
&= \{X=\{1, 2, 3, 4\} \mapsto \tau(\sigma(X=\{1, 2, 3, 4\}))\} \\
&= \{1 \mapsto \tau(\sigma(1)), 2 \mapsto \tau(\sigma(2)),
     3 \mapsto \tau(\sigma(3)), 4 \mapsto \tau(\sigma(4))\} \\
&= \{
     1 \mapsto (2 \,\,\, 4)((1 \,\,\, 2 \,\,\, 3)(1)),
     2 \mapsto (2 \,\,\, 4)((1 \,\,\, 2 \,\,\, 3)(2)),
     3 \mapsto (2 \,\,\, 4)((1 \,\,\, 2 \,\,\, 3)(3)),
     4 \mapsto (2 \,\,\, 4)((1 \,\,\, 2 \,\,\, 3)(4))
   \} \\
&= \{
     1 \mapsto (2 \,\,\, 4)(2),
     2 \mapsto (2 \,\,\, 4)(3),
     3 \mapsto (2 \,\,\, 4)(1),
     4 \mapsto (2 \,\,\, 4)(4)
  \} \\
&= \{1 \mapsto 4, 2 \mapsto 3, 3 \mapsto 1, 4 \mapsto 2 \} \\
&= (1 \,\,\, 4 \,\,\, 2 \,\,\, 3)
\end{aligned}

어디까지나 독자적인 쓰는 방법이므로, 이미지를 잡을 뿐의 이야기입니다만, (1 2 3)를 사의 집합으로서 사와 사의 합성이라고 파악하는 편이, 암기적으로 조작을 기억하는 것보다는 추상 이해가 된다고 생각한다 .

여담

당초, 군의 입문한 단계에서 치환군에 (형적인 의미로) 왠지 기분 나쁨을 느끼는 일이 있었다.
σ, τ 중의 숫자는 x -> y 와 같은 사사이지만, 첨자를 취급하고 있는 것 같다…

나중에 군작용이라는 페이지에 도착해 힘줄로 떨어졌다. 그룹 a, b ∈ G에 대해 a ∘ b가 아닌 첨자 집합 X = {1, 2, 3, 4}의 i ∈ X에 대해 a ∘ i와 같은 느낌. 유사한 예로는 다음과 같은 행렬이 있습니다. 전반의 행렬의 곱이 군의 세계의 곱. 뒤의 x, y가 무리가 아닌 무엇인가.

\begin{pmatrix}
\cos\theta_1 & -\sin\theta_1 \\
\sin\theta_1 & \cos \theta_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\theta_2 & -\sin\theta_2\\
\sin\theta_2 & \cos \theta_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y
\end{pmatrix}