직선 벡터 방정식

한 점을 통과하고 주어진 벡터에 평행 한 직선

점 $A(\vec{a})$ 를 통과하고 $\vec{0}$ 가 아닌 벡터 $\vec{d}$ 에 평행한 직선

점 $A(\vec{a})$ 이외의 이 직선상의 임의의 점을 $P(\vec{p})$ 라고 하면, 벡터 $\overrightarrow{AP}$ 는 $\vec{d} $에 평행하기 때문에,
동점 $P$ 가 이 직선상의 점이라는 것은,
$$\overrightarrow{AP}=t\vec{d}$$
와 같은 실수 $t$ 가 존재하는 것과 같은 것.
이 식을 위치 벡터를 사용하여 다시 작성하면,
$\overrightarrow{AP}=\vec{p}-\vec{a}$ 이므로 $\vec{p}-\vec{a}=t\vec{d}$ 즉,
$$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$$
이것이 직선의 벡터 방정식입니다.
$t$ 를 매개 변수(바람직하게) 또는 파라미터, $\vec{d}$ 를 이 직선의 방향 벡터라고 한다.

점 $A$ 의 좌표를 $(x_1,y_1)$ , 방향 벡터 $\vec{d}=(l,m)$ 의 경우,
동점 $P$ 의 좌표를 $(x,y)$ 로 하면,
$$(x,y)=(x_1,y_1)+t(l,m)$$
즉,

    \left\{
        \begin{array}{ll}
            x=x_1+lt \\
            y=y_1+mt
        \end{array}
    \right.

라고 쓸 수 있다. 이것을 직선의 매개 변수 표시를 말한다.

$\vec{d}$ 는 $\vec{0}$ 이 아니므로 $l,m$ 중 적어도 하나는 $0$ 가 아닙니다.
즉, $ l = 0, m = 0 $가되지 않습니다.

$l=0,m\neq0$일 때 이 연립 방정식은

    \left\{
        \begin{array}{ll}
            x=x_1 \\
            y=y_1+mt
        \end{array}
    \right.

된다. 이것은 $y$ 축에 평행한 직선을 나타낸다.

$l\neq0,m=0$일 때 이 연립 방정식은

    \left\{
        \begin{array}{ll}
            x=x_1+lt \\
            y=y_1
        \end{array}
    \right.

된다. 이것은, $x$ 축에 평행한 직선을 나타낸다.

$l\neq0,m\neq0$ 때 이 연립 방정식은

    \left\{
        \begin{array}{ll}
            x=x_1+lt \\
            y=y_1+mt
        \end{array}
    \right.
    \Longrightarrow
    \left\{
        \begin{array}{ll}
            lt=x-x_1 \\
            mt=y-y_1
        \end{array}
    \right.
    \Longrightarrow
    \left\{
        \begin{array}{ll}
            t=\frac{x-x_1}{l} \\
            t=\frac{y-y_1}{m}
        \end{array}
    \right.

그리고 변형하여,
$$\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}$$
양쪽에 $ m $를 곱하고,
$$y-y_1=\frac{m}{l}(x-x_1)$$

된다. 이것은 직선 방정식 의 표준형의 형태로,
점 $(x_1,y_1)$ 를 통과하는 경사가 $\dfrac{m}{l}$ 의 직선을 나타낸다.

2점을 통과하는 직선

2점 $A(\vec{a}),B(\vec{b})$ 를 통과하는 직선

이 직선은, 점 $A(\vec{a})$ 를 지나, $\overrightarrow{AP}=\vec{b}-\vec{a}$ 를 방향 벡터로 하는 직선이라고 생각된다.
따라서이 직선의 벡터 방정식은
방향 벡터 $\vec{d}=\vec{b}-\vec{a}$, 직선 벡터 방정식 $\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$ 보다,
$$\vec{p}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})=\vec{a}+t\vec{b}-t\vec{a}$$
되고,
$$\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$$
된다. $1-t=s$ 하면,
$$\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}\,\s+t=1\(계수의 합이 1)$$
라는 표현으로 할 수 있다.

한 점을 통과하고 주어진 벡터에 수직 인 직선

점 $A(\vec{a})$ 를 통과하고 $\vec{0}$ 가 아닌 벡터 $\vec{n}$ 에 수직인 직선

점 $A(\vec{a})$ 이외의 이 직선상의 임의의 점을 $P(\vec{p})$ 라고 하면, 벡터 $\overrightarrow{AP}$ 는 $\vec{n} $에 수직이므로,
동점 $P$ 가 이 직선상의 점이라는 것은,
$$\vec{n}\cdot\overrightarrow{AP}=0$$
인 것과 같은 것. (내적이 $0$)
이 식을 위치 벡터를 사용하여 다시 작성하면,
$\overrightarrow{AP}=\vec{p}-\vec{a}$이므로,
$$\vec{n}\cdot (\vec{p}-\vec{a})=0$$
이것은이 직선의 벡터 방정식입니다.
$\vec{n}$ 를 이 직선의 법선 벡터라고 한다.

점 $A$ 의 좌표를 $(x_1,y_1)$ , 법선 벡터 $\vec{n}=(a,b)$ 의 경우,
동점 $P$ 의 좌표를 $(x,y)$ 로 하면,
$\\vec{p}-\vec{a}=(x-x_1, y-y_1)$
$\\vec{n}\cdot (\vec{p}-\vec{a})=a(x-x_1)+b(y-y_1)$
그러므로
$$a(x-x_1)+b(y-y_1)=0$$
이것이, 이 직선을 좌표로 나타낸 방정식.
또한이 수식을 확장하여
$ax-ax_1+by-by_1=0$
정렬,
$ax+by+(-ax_1-by_1)=0$
$(-ax_1-by_1)=c$로 설정하면,
$$ax+by+c=0$$
이것은 직선 방정식의 일반 형태입니다.

이것으로부터,
선형 $ ax + by + c = 0 $에서 계수 세트 $ (a, b) $는이 직선의 법선 벡터 중 하나를 나타냅니다.