평행한 직선과 수직인 직선

2직선의 평행 조건과 수직 조건(기본형)

2 직선 방정식 (기본형)이 각각,
$$L_1:y=mx+n,\\\\L_2:y=m'x+n'$$
인 경우를 생각한다.

평행 조건

직선 $L_1,L_2$ 가 평행하다는 것은 직선의 기울기가 같다는 것.
직선 $L_1,L_2$ 의 계수 $m,m'$ 는 직선의 기울기를 나타내므로 $m=m'$ , 즉
$$L_1과 L_2가 평행\Longleftrightarrow m=m'$$
입니다.

수직 조건

직선 $L_1,L_2$ 가 수직이라고 하는 것은, 2 직선을 평행 이동해 원점을 통과하게 한,
$$y=mx,\\\\y=m'x$$
가 수직인 것과 같습니다.
이 2 직선 $y=mx,y=m'x$ 와 직선 $x=1$ 과의 교점을 $P,Q$ 로 하면, 2 직선이 수직이기 위해서는, 3평방의 정리에 의해
$$PQ^2=OP^2+OQ^2$$
가 성립하는 것이 필요.
점 $P,Q$ 의 좌표는 각각 $(1,m),(1,m')$ 이므로 이 식은,
$$(m-m')^2=(1+m^2)+(1+m'^2)$$
된다. 이 표현식을 확장하면,
$$m^2-2mm'+m'^2=2+m^2+m'^2$$
그러므로
$$-2mm'=2$$
그러므로
$$mm'=-1$$
즉,
$$L_1과 L_2가 수직\Longleftrightarrow mm'=-1$$
입니다.

2직선의 평행 조건과 수직 조건(일반형)

2 직선 방정식 (일반형)이 각각,
$$L_1:ax+by+c=0\\,\\L_2:a'x+b'y+c'=0$$
인 경우를 생각한다.

이 직선의 식을 변형하여 기본형의 형태로 하면,
$$L_1:y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\\,\\L_2:y=-\frac{a'}{b'}x-\frac{ c'}{b'}$$
따라서 평행 조건은
$$-\frac{a}{b}=-\frac{a'}{b'}$$
그러므로
$$ab'-ba'=0$$
수직 조건은
$$\left(-\frac{a}{b}\right)\cdot\left(-\frac{a'}{b'}\right)=-1$$
그러므로
$$aa'+bb'=0$$
된다.
이것은 이 2직선의 법선 벡터 $(a,b)$ 와 $(a',b')$ 의 내적이 $0$ , 즉 수직인 벡터임을 나타내고 있다.

1점을 지나 직선에 평행한 직선과 수직인 직선

점 $(x_1,y_1)$ 를 지나, 직선 $ax+by+c=0$ 에 평행한 직선과 수직인 직선의 방정식을 구한다.
이 직선의 식을 변형하면,
$$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$$
따라서, 이 직선의 기울기는, $-\dfrac{a}{b}$ 로, 1점과 기울기가 주어졌다 직선 방정식 의 공식에 의해,
점 $(x_1,y_1)$ 를 지나 직선 $ax+by+c=0$ 에 평행한 직선은
$$y-y_1=-\frac{a}{b}(x-x_1)$$
그러므로
$$a(x-x_1)+b(y-y_1)=0$$
된다.

또한 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 법선 벡터 $(a,b)$ 보다 $\dfrac{b}{a}$ 이므로,
점 $(x_1,y_1)$ 를 지나 직선 $ax+by+c=0$ 에 수직인 직선은
$$y-y_1=\frac{b}{a}(x-x_1)$$
그러므로
$$b(x-x_1)-a(y-y_1)=0$$
된다.