원의 방정식

원의 방정식의 표준형

원이란, 중심점 $C$ 와 원주상의 임의의 점 $P$ 와 반경 $r$ 와의 관계가,
(점 $C$와 점 $P$를 연결한 선분의 길이와 반경 $r$가 같은 길이, 즉,)
$$CP=r$$
되는 점 $P$ 전체 집합이다.
$C$의 좌표를 $(a,b)$, 점 $P$의 좌표를 $(x,y)$로 했을 때, $CP$의 길이는,
$$CP =\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$$
가 $CP=r$ 라는 조건은
$$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}=r$$
로 표시된다.
이 식의 양변을 제곱하면,
$$ (x - a)^2 + (y - b)^2=r^2$$
이것이 원의 방정식입니다.

【예】 중심(3,2) 반경 5 의 ​​원의 방정식은

$$ (x - 3)^2 + (y - 2)^2=25$$

원의 방정식의 일반형

원의 방정식의 표준형, $(x - a)^2 + (y - b)^2=r^2$ 의 좌변을 전개하면,
$$x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2$$
정리하고,
$$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$$
$-2a=l,-2b=m,a^2+b^2-r^2=n$라고 해,
$$x^2+y^2+lx+my+n=0\\cdots\①$$
이 식은 $x^2$와 $y^2$의 계수가 같고, $xy$의 항이 없는 $x,y$에 대한 2차 방정식이 되어 있어 원을 나타낼 수 있다.
그러나 ①의 식이 나타내는 도형이 반드시 원은 아니다.
①의 식을 제곱 완성하여 변형하면,
$$\left(x+\frac{l}{2}\right)^2+\left(y+\frac{m}{2}\right)^2=\frac{l^2+m^2-4n }{4}$$
되고,

$l^2+m^2-4n > 0 $일 때 이 식은 중심 $\left(-\dfrac{l}{2},-\dfrac{m}{2}\right)$ , 반경 $\dfrac{\sqrt{l^2+m^2-4n}}{2}$ 원을 나타냅니다

$l^2+m^2-4n = 0 $일 때, 이 표현식은 1점 $\left(-\dfrac{l}{2},-\dfrac{m}{2}\right) $를 나타냅니다

$l^2+m^2-4n < 0 $일 때 이 식이 나타내는 도형은 존재하지 않는다(허원)

된다. 따라서 원의 방정식의 일반 형태는
$$x^2+y^2+lx+my+n=0$$
$$ 그러나, l^2+m^2-4n > 0$$
된다.

【예】

방정식 $x^2+y^2-4x+2y+4=0$은 어떤 모양을 대표하는가?
정렬
$$x^2-4x+y^2+2y+4=0$$
변형하여 (양쪽에 $4$와 $1$를 더하여 왼쪽의 $4$를 오른쪽으로 이동)
$$(x^2-4x+4)+(y^2+2y+1)=4+1-4$$
인수 분해하여,
$$(x-2)^2+(y+1)^2=1$$
따라서이 방정식은 중심 $ (2,-1) $, 반경 $ 1 $의 원을 나타냅니다.