점과 직선의 거리

2 직선의 수직 조건을 이용하여 구한다

직선 $ax+by+c=0$ 과 직선상에 없는 점 $P(x_0,y_0)$ 와의 거리를 구한다.

$P$ 로부터 직선에 수직으로 내려간 선을 $PH$ 로 한다.
$a\neq0,b\neq0$ 로 하고 직선과 점 $P$ 와의 교점 $H$ 의 좌표를 $(x_1,y_1)$ 로 하면,
직선 $PH$ 의 기울기는 $\dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$, 거리는 $\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$ 가 된다.
한편, 직선 $ax+by+c=0$ 의 기울기는, $-\dfrac{a}{b}$ 로, ( 직선 방정식 참조)
직선과 $PH$ 는 수직이므로, 그 곱은,
$$\dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\cdot -\dfrac{a}{b}=-1$$
된다. ( 평행한 직선과 수직인 직선 참조)
이 공식을 변형하면,
$$\dfrac{a(y_1-y_0)}{b(x_1-x_0)}=1\\dashrightarrow\b(x_1-x_0)=a(y_1-y_0)\\dashrightarrow\\dfrac{b(x_1- x_0)}{ab}=\dfrac{a(y_1-y_0)}{ab}$$
되고,
$$\dfrac{x_1-x_0}{a}=\dfrac{y_1-y_0}{b}$$
된다. 이 값을 $k$로 설정하면,
$$\dfrac{x_1-x_0}{a}=k\,\\dfrac{y_1-y_0}{b}=k$$
$$x_1-x_0=ak\,\y_1-y_0=bk\\cdots\①$$
된다.
이 식을 $PH$ 거리의 식의 양변을 제곱한 $PH^2=(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2$ 에 대입하면,
$$PH^2=(ak)^2+(bk)^2=a^2k^2+b^2k^2=(a^2+b^2)k^2\\cdots\②$$
①의 식을 변형하면,
$$x_1=x_0+ak\,\y_1=y_0+bk\\cdots\③$$
점 $H(x_1,y_1)$ 는 직선 $ax+by+c=0$ 위의 점이므로,
$$ax_1+by_1+c=0$$
가 성립한다.
이 식에 ③의 값을 대입하면,
$$a(x_0+ak)+b(y_0+bk)+c=0$$
이 표현식을 $ k $에 대해 풀면,
$ax_0+a^2k+by_0+b^2k+c=0\\dashrightarrow\k(a^2+b^2)=-(ax_0+by_0+c)$
$$k=-\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$$
된다.
이 $k$ 의 식을 ②에 대입하면,
$$PH^2=(a^2+b^2)k^2=(a^2+b^2)\cdot\left(-\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^ 2}\right)^2$$
$$=\dfrac{(a^2+b^2)\cdot (ax_0+by_0+c)^2}{(a^2+b^2)^2}=\dfrac{(ax_0+by_0+c )^2}{a^2+b^2}$$
그러므로
$$PH=\dfrac{\mid ax_0+by_0+c\mid}{\sqrt{a^2+b^2}}\\cdots\④$$
이것은 직선 $ax+by+c=0$ 과 직선에 없는 점 $(x_0,y_0)$ 과의 거리의 공식입니다.

이 공식은 $a=0$ 또는 $b=0$일 때도 성립한다.
$a=0$일 때, 직선 $ax+by+c=0$ 는 $by+c=0$ 이며,
$$y=-\frac{c}{b}$$
된다. 이것은 $x$축에 평행한 직선을 나타낸다.

이 때, 점$P(x_0,y_0)$ 와 이 직선과의 거리는,
$$\left|\y_0-\left(-\frac{c}{b}\right)\right|$$
이 식은 ④의 식으로 $a=0$ 로 했을 경우,
$$PH=\dfrac{\mid by_0+c\mid}{b}$$
와 같은 식이 되어, $a=0$ 의 경우도 성립한다고 할 수 있다.

$b=0$일 때, 직선 $ax+by+c=0$ 는 $ax+c=0$ 이며,
$$x=-\frac{c}{a}$$
된다. 이것은 $y$축에 평행한 직선을 나타낸다.

이 때, 점$P(x_0,y_0)$ 와 이 직선과의 거리는,
$$\left|\x_0-\left(-\frac{c}{a}\right)\right|$$
이 식은 ④의 식으로 $b=0$ 로 했을 경우,
$$PH=\dfrac{\mid ax_0+c\mid}{a}$$
와 같은 식이 되어, $b=0$ 의 경우도 성립한다고 할 수 있다.

또한 원점 $(0,0)$ 과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리는
$$PH=\dfrac{\mid c\mid}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
입니다.