in,cos/가산정리에 기초한 방법 & IIR 필터의 방법/Python/의미가 없을 때

참고문: 삼상직수, "기지된, 경량의sin/cos계산 알고리즘 제4회의2: 정현파를 고속으로 생성할 수 있는 귀속계산법",, CQ출판, 2017년 10월호, pp.158-159
sin(0 Δθ), sin(1 Δθ), sin(2 Δθ), sin(3 Δθ), ...... 이렇게 순서대로sin을 요구합니다.동시에 코스도 요구한다.
자원이 부족한 마이크로컴퓨터가 양상진동기 등을 구성할 때 사용하는 방법으로, PC로 계산할 의미가 없다.절차의 확인일 뿐입니다.
덧셈의 정리에 근거한 방법
계산 순서는 다음과 같다.

우선 sin(0),cos(0),sin(Δθ),cos(Δθ),sin(0 Δθ) 이 네 개만 합쳐서 무엇으로 미리 계산합니까?

우선 확정해야 할 cos는 이미 계산이 끝났다.sin(1 Δθ)도 마찬가지다.

는 다음cos도 계산했다.sin(2 Δθ)도 마찬가지다.

다음에 요구되는 sin(Δθ + Δθ)는sin(Δθ) cos(Δθ) + cos (Δθ) sin(Δθ)이기 때문에 가법정리를 통해 표시할 수 있다cos.각 요소는 모두 계산해 보았고 곱셈과 덧셈만 계산했다.sin(3 Δθ)도 마찬가지다.

다음에 요구되는 sin(2 Δθ + Δθ)는sin(2 Δθ) cos(Δθ) + cos (2 Δθ) sin(Δθ)이기 때문에 가법정리를 통해 표시할 수 있다cos.각 요소는 모두 계산해 보았고 곱셈과 덧셈만 계산했다.sin도 마찬가지다.이하 마찬가지로 곱셈, 덧셈cos만 순서대로 구한다sqrt(sin^2 + cos^2).

이 방법은 오차가 포함된 in,cos의 값을 바탕으로 다음 in,cos의 값을 확정하기 때문에 진폭이 점점 멀어진다.이런 상황을 방지하는 수단으로sin,cos의 값을 진폭1으로 나누어 진폭sin을 강제로 사용한다.즉 cos에 1/(sqrt(sin^2 + cos^2))를 곱해 얻은 것1/sqrt(x)을 곱한 것이다.
그러나 1의 계산 자체는 시간이 필요하다.그러나 진폭이탈1/sqrt(x)해도 큰 편차가 없을 것으로 보인다.따라서 x=1를 중심으로 테일러가 전개1.5 - 0.5 * x해 (見る/隠す) ソースコード (.py) と実行結果부터 2항까지 진폭을 교정한다.a = 2 cos(Δθ)

import math
import matplotlib.pyplot as plt

def SinCos(Δθ):
    Δθ    = Δθ
    sin0  = math.sin(0)
    cos0  = math.cos(0)
    sinΔθ = math.sin(Δθ)
    cosΔθ = math.cos(Δθ)
    sin   = [None, sin0]
    cos   = [None, cos0]

    def sincos():
        sin[0] = sin[1]
        cos[0] = cos[1]

        sin[1] = sin[0] * cosΔθ + cos[0] * sinΔθ
        cos[1] = cos[0] * cosΔθ - sin[0] * sinΔθ

        adj = 1.5 - 0.5 * (sin[0]**2 + cos[0]**2)
        return sin[0] * adj, cos[0] * adj

    return sincos


########
# test #
########
Δθ      = math.pi/8
sin_cos = SinCos(Δθ) # 初期値をセットした状態でクロージャを開いて、
θList   = []
sinList = []
cosList = []
for i in range(50):
    sin, cos = sin_cos() # 外に出した函数を実行し続ける。実行するたびに sin、cos の値が更新される。

    θList.append(i * Δθ)
    sinList.append(sin)
    cosList.append(cos)
    #print("θ: %.2f, sin: %.6f, cos: %.6f, amp: %.16f" % (i*Δθ, sin, cos, math.sqrt(sin**2 + cos**2)))

plt.plot(θList,sinList,
         θList,cosList)
plt.xlabel("radian")
plt.ylabel("amplitude")
plt.grid(color="lightblue")
plt.show()

실행 결과:

IIR 필터를 사용하는 방법
다만 기사에 소개된 계산 공식을 파이톤으로 재현했다.무슨 말인지 전혀 모르겠지만 아주 간단합니다.덧셈의 정리에 따른 방법과 달리 진폭은 1에서 벗어나지 않는다고 한다.
계산 순서는 다음과 같다.

c = -cos(Δθ),s = sin(Δθ),u[n] = a * u[n-1] - u[n-2] 이 세 개만 합쳐서 어떤 함수로 미리 계산해야 하는지.

고려n의 점화식.0, 1, 2, ......네u[0] = 0.초기값은 u[1] = 1 및 sin입니다.

cos와 u[n]는 각각 sin(n Δθ) = s * u[n]를 통해 이 점화식cos(n Δθ) = u[n+1] + c * u[n]에서 얻었다.n네0, 1, 2, .......(見る/隠す) ソースコード (.py) と実行結果

import math
import matplotlib.pyplot as plt

def SinCos(Δθ):
    A = 2 * math.cos(Δθ)
    C = -math.cos(Δθ)
    S = math.sin(Δθ)
    u = [0, 1]
    def sincos():
        sin = S * u[0]
        cos = u[1] + C * u[0]
        u[0], u[1] = u[1], A * u[1] - u[0]
        return sin, cos

    return sincos

########
# test #
########
Δθ      = math.pi/8
sin_cos = SinCos(Δθ) # 初期値をセットした状態でクロージャを開いて、
θList   = []
sinList = []
cosList = []

for i in range(50):
    sin, cos = sin_cos() # 外に出した函数を実行し続ける。実行するたびに sin、cos の値が更新される。

    θList.append(i * Δθ)
    sinList.append(sin)
    cosList.append(cos)
    #print("θ: %.2f, sin: %.6f, cos: %.6f, amp: %.16f" % (i*Δθ, sin, cos, math.sqrt(sin**2 + cos**2)))


plt.plot(θList,sinList,
         θList,cosList)
plt.xlabel("radian")
plt.ylabel("amplitude")
plt.grid(color="lightblue")
plt.show()

실행 결과:

관련: http://ti-nspire.hatenablog.com/archive/category/sin%E3%80%81cos%20%E3%81%AE%E5%86%8D%E5%B8%B0%E7%9A%84%E8%A8%88%E7%AE%97%E6%B3%95