행렬식

행렬식을 찾는 이유

행렬식 정의

\begin{align}
 | A | = \mathrm{ det }A = \mathrm{ det }( a_1, a_2, \ldots, a_n ) =
\left|
  \begin{array}{cccc}
    a_{ 11 } & a_{ 12 } & \ldots & a_{ 1n } \\
    a_{ 21 } & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{ m1 } & a_{ m2 } & \ldots & a_{ mn }
  \end{array}
\right|



& = \sum_{ \sigma \in S_n  } sgn\ \sigma \cdot {x_{1\sigma_\left( 1\right)}}{x_{2\sigma_\left( 2\right)}}\cdots{x_{n\sigma_\left( n\right)}} \\

& = \sum_{ \sigma \in S_n  } sgn\ \sigma \prod_{ i = 1 }^n x_{i\sigma_\left( i\right)}
\end{align}

기호의 의미

기호
의미


$\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n }$
$n$ 문자에 대한 모든 대체 $\sigma$를 고려한 합

$\large{ x_{i\sigma_(i)}} $
앞부분의 첨자 $i$ 는 대체 $\sigma$ 에 의존하지 않는다. 두 번째 문자를 이동할 인덱스 번호. 대체는 $ n-1 $ 패턴 존재한다

$\large{ sgn } $
sgn 정보


즉, 행렬식이란 무엇입니까?

\begin{eqnarray}
A = \left(
  \begin{array}{cccc}
    a_{ 11 } & a_{ 12 } & \ldots & a_{ 1n } \\
    a_{ 21 } & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{ m1 } & a_{ m2 } & \ldots & a_{ mn }
  \end{array}
\right)
\end{eqnarray}

로 표시되는 행렬 $A$
각 행에서 열 인덱스가 쓰이지 않도록 요소를 모든 패턴으로 추출($\sigma\in S_n$한 곱의 합(단, 곱의 계수는 $sgn$)라고 말할 수 있다

2차 정방 행렬의 경우

\begin{align}
|A| = \begin{vmatrix} {a_{11}} & {a_{12}} \\\ {a_{21}} & {a_{22}} \end{vmatrix} 
\end{align}

$\sigma $ 는 $ n = 2$ 문자에 대한 치환이며, $\sigma_1$ 와 $\sigma_2$ 의 2 종류 있다. 즉

\begin{eqnarray}
\sigma_1 & = \left(
  \begin{array}{cccc}
     1 & 2 \\
    1 & 2 
  \end{array}
\right)
,
sgn\ \sigma_1 = 1
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}

\sigma_2 = \left(
  \begin{array}{cccc}
     1 & 2 \\
    2 & 1 
  \end{array}
\right)
,
sgn\ \sigma_2 = -1
\end{eqnarray}

그리고

\begin{align}
 | A | & = \sum_{ \sigma \in S_2  } sgn\ \sigma \cdot {a_{1\sigma_\left( 1\right)}}{a_{2\sigma_\left( 2\right)}} \\

& = sgn\ \sigma_1 \cdot a_{1\sigma_{1{(1)}}}a_{2\sigma_{1{(2)}}} + sgn\ \sigma_2 \cdot a_{1\sigma_{2{(1)}}}a_{2\sigma_{2{(2)}}} \\

& = {a_{11}}{a_{22} - {a_{12}} {a_{21}}}

\end{align}

3차 정방 행렬의 경우

\begin{align}
|A| = \begin{vmatrix}
{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\\ 
{a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\\ 
{a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}} \end{vmatrix}
\end{align}

$\sigma $ 는 $ n = 3$ 문자에 대한 대체이며 $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$, $\sigma_4$, $\sigma_5$, $\sigma_6$ 의 6 (=$3 !$) 종류 있음

\begin{eqnarray}
\sigma_1 & = \left(
  \begin{array}{cccc}
     1 & 2 & 3\\
    1 & 2 & 3
  \end{array}
\right)
,
sgn\ \sigma_1 = 1
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\sigma_2 = \left(
  \begin{array}{cccc}
     1 & 2 & 3 \\
     2 & 3 & 1
  \end{array}
\right)
,
sgn\ \sigma_2 = 1
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\sigma_3 = \left(
  \begin{array}{cccc}
     1 & 2 & 3 \\
     3 & 1 & 2
  \end{array}
\right)
,
sgn\ \sigma_3 = 1
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\sigma_4 = \left(
  \begin{array}{cccc}
     1 & 2 & 3 \\
     1 & 3 & 2
  \end{array}
\right)
,
sgn\ \sigma_4 = -1
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\sigma_5 = \left(
  \begin{array}{cccc}
     1 & 2 & 3 \\
     2 & 1 & 3
  \end{array}
\right)
,
sgn\ \sigma_5 = -1
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\sigma_6 = \left(
  \begin{array}{cccc}
     1 & 2 & 3 \\
     3 & 2 & 1
  \end{array}
\right)
,
sgn\ \sigma_6 = -1
\end{eqnarray}

그리고

\begin{align}
 | A | & = \sum_{ \sigma \in S_2  } sgn\ \sigma \cdot {a_{1\sigma_\left( 1\right)}}{a_{2\sigma_\left( 2\right)}}{a_{3\sigma_\left( 3\right)}}{a_{4\sigma_\left( 4\right)}}{a_{5\sigma_\left( 5\right)}}{a_{6\sigma_\left( 6\right)}} \\

& = sgn\ \sigma_1 \cdot a_{1\sigma_{1{(1)}}}a_{2\sigma_{1{(2)}}}a_{3\sigma_{1{(2)}}} + \cdots + sgn\ \sigma_6 \cdot a_{1\sigma_{6{(1)}}}a_{2\sigma_{6{(2)}}}a_{2\sigma_{6{(2)}}} \\

& = {a_{11}}{a_{22}}{a_{33}} + {a_{12}}{a_{23}}{a_{31}} + {a_{13}}{a_{21}}{a_{32}} - {a_{11}}{a_{23}}{a_{32}} - {a_{12}}{a_{21}}{a_{33}} - {a_{13}}{a_{22}}{a_{31}}
\end{align}

참조

선형 대수 입문 (사이토 마사히코 저)
행렬식의 본질
여인자 전개