자신의 메모 : Jordan 표준형을 기억하는 방법

Jordan입니다, 파인 맨.

참고문헌

광의 고유 공간의 구조와 조던 표준형 - 하나님. 이것을 보면 모든 것을 알 수 있다.

감정 1

A \boldsymbol x = \lambda \boldsymbol x

이것은 고유 벡터와 고유치의 관계. 이것을 행렬로 옆으로 늘어 놓습니다.

\begin{pmatrix}
A \boldsymbol x_1 & A \boldsymbol x_2 & \cdots & A \boldsymbol x_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\lambda \boldsymbol x_1 & \lambda \boldsymbol x_2 & \cdots & \lambda \boldsymbol x_n \end{pmatrix}
\\
A \begin{pmatrix}
\boldsymbol x_1 & \boldsymbol x_2 & \cdots & \boldsymbol x_n
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\boldsymbol x_1 & \boldsymbol x_2 & \cdots & \boldsymbol x_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\lambda_1
\\
&\lambda_2
\\
&&\ddots
\\
&&& \lambda_n
\end{pmatrix}
\\
AP = PJ
\\
A = PJP^{-1}

(여기서 $P$ 의 역행렬이 존재하기 때문에(즉, $P$ 가 정규)이기 위해서는, $P$ 를 구성하고 있던 벡터 $\boldsymbol x_1,\ldots,\boldsymbol x_n$ 는 모두 선형 독립적이어야 충분 조건)
이 느낌을 기억

감정 2

위의 변형 (소위 "대각화"는 항상 가능한 것은 아닙니다.

실제로는 가장 오른쪽 행렬 위에 $1$ 가 붙는 일이 있다 (수식 약어)

왜 그렇다면 잘 작동합니까?

본질

고유치 $\lambda$ 에 속하는 고유 공간을 $V(\lambda)$ 로 둔다
아는 이 공간은

\lbrace \boldsymbol x \mid A \boldsymbol = \lambda x \rbrace = \lbrace \boldsymbol x \mid (A - \lambda I) \boldsymbol x = \boldsymbol 0 \rbrace = \operatorname{Ker} (A - \lambda I)

여기서 재미있게

V^0(\lambda) = \operatorname{Ker} (A-\lambda I)^0 ( = \{\boldsymbol 0\})
\\
V^1(\lambda) = \operatorname{Ker} (A-\lambda I)^1 ( = V(\lambda) )
\\
V^2(\lambda) = \operatorname{Ker} (A-\lambda I)^2
\\
\vdots
\\

생각

여기서 본질 보조제가 몇개인가(증명은 참고 링크를 봐 주세요)

부제 고유 다항식에서 $\lambda$ 의 중복도를 $r$ 로 하면, $\dim V^r(\lambda) = r$

이것은, $(A-\lambda I)$ 를 왼쪽으로부터 $r$ 돌리면 $0$ 가 되는 것 같은 $r$ 차원 공간이 존재하는 것을 의미한다. $V^r(\lambda)$ 를 광의 고유 공간이라고 부른다 ((협의) 고유 공간 $V(r)$ 의 정의와 비교하라)

보조제 $A$의 크기와 같고 차원수를 가지는 벡터 전체는, 각 고유치에 속하는 강의 고유 공간(의 직화)에 분해할 수 있다

분해할 수 있을 것 같다.

본질 보조제 그 1 $V^n(\lambda)\ni\boldsymbol x$ 이라면 $V^{n-1}(\lambda)
증명(?) $(A-\lambda I)^n\boldsymbol x =\boldsymbol 0\Rightarrow (A -\lambda I)^{n-1}\left( (A -\lambda I)\boldsymbol x\right) =\boldsymbol 0$
그렇게.


각각의 원은 고유 공간의 기저 벡터를 나타내고, 좌우로 늘어선(y 좌표가 같은 위치에 있는) 원은 동일한 기저 벡터를 나타내고 있습니다
화살표는, 「(기저 벡터에) 왼쪽으로부터 $(A-\lambda I)$ 를 곱한다」조작을 나타내고 있어, 보조제 1과 같이 곱한 뒤의 벡터가 하나 아래의 공간에 들어가 있지 말고, 라는 느낌이 듭니다.

본질 보조제 그 2 $\dim V^{n+1}(\lambda) -\dim V^n(\lambda)\leq\dim V^n(\lambda) -\dim V^{n-1}(\lambda)$
$(A-\lambda I)^n$ 의 $\operatorname{Ker}$ 는 $n$ 를 늘리면 늘어날수록 차원이 커져 갑니다만, "$n$를 1 늘릴 때 새롭게 늘어난다 차원은 감소합니다.


아카마루가 「늘어난 차원」입니다. 이것을 보면 뭔가 눈치 채지 않습니까 ......?


이런 '고유 벡터의 사슬' 같은 것이 만들어져 그 사슬에 포함되는 기저 벡터만으로 $V^r(\lambda)$ 의 공간을 모두 가득 채울 수 있게 되는 것 같습니다. (증명? 모른다)

이제 화살표로 연결된 두 개의 기본 벡터 쌍을 살펴 보겠습니다. 화살표는 "왼쪽에서 $(A -\lambda I)$ 를 곱하는 것을 의미했기 때문에,
본질 보조제 그 3 $\boldsymbol x = (A -\lambda I)\boldsymbol y$ 때 $A\boldsymbol y =\lambda\boldsymbol y +\boldsymbol x$
계산하면 당연히.

그리고는 조르단 표준형의 모양을 보고 생각해 주세요. (하?)