TL;DR

매트릭스는 전부다.
도처에 있다.
지금 이 방 안에도 있다.
창에서 밖을 보거나 TV를 붙일 때도 거기에
일하는 동안, 교회, 납세할 때도
The Matrix

선형성이란?

$f(\mathbf{x})$ 함수의 다음 특성을 선형성이라고 합니다.

\begin{align*}
&\text{加法性} \; &f(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \;&=\; f(\mathbf{a}) + f(\mathbf{b}) \\
&\text{斉次性} \; &f(k\mathbf{a}) \;&=\; k \; f(\mathbf{a})
\end{align*}

평행사변형의 면적은 선형성을

함수 $f(a,b)$ 는 평행사변형의 면적을 구하는 함수라고 하면, 이 함수는 선형성을 가집니다.
실제로 확인해 보겠습니다.

$f(a,\; b)$ 는, 이하의 평행 사변형의 면적을 나타낸다.

가법성 확인

$f(a+a',\; b) = f(a,\;b) + f(a',\;b)$


$f(a+a',\; b+b') = f(a,\;b) + f(a',\;b) + f(a,\;b') + f(a',\;b')$

순차성 확인

$f(ka,\; b) = k\;f(a,\;b)$


$f(ka,\; kb) = k^{2}\;f(a,\;b)$

선형성을 갖는 함수는 행렬이 된다.

평행사변형의 면적 이외에도 옴의 법칙이나 뉴턴의 운동 방정식, 파도의 중첩 등 자연 현상은 선형성을 가집니다.

또한 함수에 선형성이 있으면 함수를 행렬로 변환할 수 있습니다.

이하, 구체적으로 선형성을 가지는 함수로부터 행렬을 구해 보겠습니다.

선형성에서 행렬로

어떤 창고에서는 짐을 가로(x), 세로(y), 안쪽(z)의 3개의 파라미터로 나타내고 있습니다.
또한 각 파라미터는 알기 쉽도록 세로로 표시하고 값은 50cm 정도 몇 개 분으로 기록하고있었습니다.


짐을 x, y, z로 관리하는 것으로 이하의 식으로 표현할 수 있게 되어 있습니다.

\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} = 
x
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} + 
y
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} + 
z
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}

예 가로폭 100cm, 세로폭 150cm, 깊이 50cm의 짐의 경우

\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
2 \\
3 \\
1
\end{pmatrix} 

그러나, 50cm 가로에서 10cm 가로로 전환하게 되었습니다.
이때 50cm에서 10cm로 변환을 나타내는 함수 $f(x, y, z)$ 를 넣으면 이 함수는 선형성을 갖습니다.

즉, 이 함수는 다음과 같이 행렬로 대체할 수 있습니다.

\begin{align} 
f\left(\;
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
\;\right) &= 
f\left(\;
x
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} + y
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} + z
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\;\right) \quad - ① \\
&= f\left(\;
x
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\;\right) + 
f\left(\;
y
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\;\right) + 
f\left(\;
z
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\;\right) \quad - ② \\
&= x\; f\left(\;
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\;\right) + 
y\; f\left(\;
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\;\right) + 
z\; f\left(\;
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\;\right) \quad - ③ \\
&=
\begin{pmatrix}
f
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} \;
f
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} \;
f
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} \;
\end{pmatrix} \;
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \quad - ④\\
&= 
\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix} \;
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \quad - ⑤
\end{align}

그러므로

f\left(\;
\begin{pmatrix}
2 \\
3 \\
1
\end{pmatrix}
\;\right) = 
\begin{pmatrix}
10 \\
15 \\
5
\end{pmatrix}

NOTE:

① → ② 가법성에서 함수를 분할

② → ③ 순차성에서 계수를 함수 밖으로

③ → ④ 계수를 행렬로 변환

요약

선형 대수는 함수에서 선형성이라는 성질을 추출하여 추상화한 학문입니다.
선형성을 가지는 함수는 가법성, 순차성이라는 성질을 사용하여 함수를 분할하고 계수를 밖으로 꺼내 행렬로 변환할 수 있었습니다.
(50cm 가로에서 10cm 가로로의 변환은 선형 대수의 전문 용어로 말하는 기저의 변환이 되고 있습니다.)

제2장 에서는 선형 대수에 있어서의 「수」와 「함수」에 대해 소개합니다.

Appendix

평행 사변형의 면적에서도 행렬을 만들 수 있습니다.
이것은 높이와 저변이라는 기저에서 면적이라는 기저로 변환됩니다.
a, b는 0보다 큰 실수입니다.

\begin{align}
f
\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix} &= 
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix} \\
&= ab
\\
\therefore ax_1 &+ bx_2 = ab \\
\end{align}

그래서,

\begin{align}
x_2 &= s \quad \text{(sは任意の実数)} \\
x_1 &= \frac{b\;(a - s)}{a}
\end{align}

따라서 평행 사변형의 면적을 나타내는 행렬은 다음과 같습니다.

\begin{align}
f
\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix} &= 
\begin{pmatrix}
\frac{b\;(a - s)}{a} & s
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix}
\end{align} \quad \text{sは任意の実数}