접힌 계열 되감기

이런 느낌으로 직선(적인 것)이 되풀이되어 있을 때, 되감기를 되감고 싶다.



최종적으로 완전한 직선을 타는 것은 아니므로, 최소 제곱법으로 직선 근사를 한다. 기본적인 생각으로는, 수의 계열 $x_{k}$ 와, 되돌아가 몇 주목인지를 나타내는 계열 $y_{k}$ 를 사용해, 되돌림을 되돌릴 때에 가능한 한 직선에 가까워지도록(듯이) 한다. 도면에서는 연속적으로 점이 있지만, 도중의 점이 빠져도 좋다고 고려한다.

계열 $x_{1},x_{2},\ldots,x_{N}$에 대한 비감소 계열 $y_{1},y_{1},\ldots,y_{N}(y_{k}\leq y_{k + 1},\y_{k}\in Z)$가 있을 때 가중치 $w_{1},\ldots,w_{N}\in\left\{ 0,1\right\}$ 알려진 것으로

$$w_{n}(x_{n} +\alpha y_{n})$$

가능한 한 등차수 열에 가까워지도록 $\alpha$를 결정하고 싶다.

최종 목표가되는 등차 수열

$$a + bn$$

그렇다. 이때의 제곱오차는

$$e^{2} =\sum_{i = 1}^{n}{w_{n}\left( x_{n} +\alpha y_{n} - a - bn\right)}^{2}\quad(1)$$

$$\frac{\partial e^{2}}{\partial\alpha} =\sum_{n = 1}^{N}{2w_{n}y_{n}(x_{n} +\alpha y_{ n} - a - bn)} = 0\quad(2)$$

$$\frac{\partial e^{2}}{\partial a} = -\sum_{n = 1}^{N}{2w_{n}(x_{n} +\alpha y_{n} - a - bn)} = 0\quad(3)$$

$$\frac{\partial e^{2}}{\partial b} = -\sum_{n = 1}^{N}{2nw_{n}(x_{n} +\alpha y_{n} - a - bn)} = 0\quad(4)$$

여기서 다음과 같은 수를 생각한다.

$$\sum_{n=1}^{N}{w_{n}x_{n}} = S_{X}$$

$$\sum_{n=1}^{N}{w_{n}y_{n}} = S_{Y}$$

$$\sum_{n = 1}^{N}{w_{n}x_{n}y_{n}} = S_{\text{XY}}$$

$$\sum_{n = 1}^{N}{w_{n}y_{n}^{2}} = S_{YY}$$

$$\sum_{n = 1}^{N}{w_{n}nx_{n}} = M_{X}$$

$$\sum_{n=1}^{N}{w_{n}ny_{n}} = M_{Y}$$

$$\sum_{n = 1}^{N}w_{n} = W$$

$$\sum_{n = 1}^{N}{w_{n}n} =\Sigma$$

$$\sum_{n = 1}^{N}{w_{n}n^{2}} =\Sigma_{2}$$

(3)에서,

$$S_{X} +\alpha S_{Y} - a W - b\Sigma = 0\quad(5)$$

(2)보다

$$S_{XY} +\alpha S_{YY} - a S_{Y} - b M_{Y} = 0\quad(6)$$

(4)보다

$$M_{X} +\alpha M_{Y} - a\Sigma - b\Sigma_{2} = 0\quad(7)$$

이상보다

$$
\begin{pmatrix}S_{XY}\\S_{X}\\M_{X}\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
S_{YY} & - S_{Y} & - M_{Y}\\
S_{Y}&-W&-\Sigma\\
M_{Y}&-\Sigma&-\Sigma_{2}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\alpha\\
a\\
b
\end{pmatrix} = 0$$

이것을 풀어 $\alpha$를 요구하면 좋다. 프로그램으로 쓰면 이런 느낌.

findlinear <- function(pos,x,y) {
  if (max(y) == 0) {
    # only one segment
    model <- lm(x~pos,data=data.frame(x=x,pos=pos))
    return(c(0,model$coefficients))
  }
  sx <- sum(x)
  sy <- sum(y)
  sxy <- sum(x*y)
  syy <- sum(y^2)
  mx <- sum(pos*x)
  my <- sum(pos*y)
  v <- -c(sxy,sx,mx)
  n <- length(pos)  
  sn <- sum(pos)
  sn2 <- sum(pos^2)
  m <- matrix(c(syy,-sy,-my,sy,-n,-sn,my,-sn,-sn2),
              nrow=3,ncol=3,byrow=TRUE)
  solve(m,v)
}

해보면 이런 느낌

> x
 [1]   0   3   6   9  12 -14 -11  -8  -5  -2   1   4   7  10  13 -13 -10  -7  -4
[20]  -1   2   5   8  11  14 -12  -9  -6  -3   0   3   6   9  12
> y
 [1] 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3
> n
 [1]  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
[26] 26 27 28 29 30 31 32 33 34
> findlinear(n,x,y)
[1] 29 -3  3
> plot(x+29*y)

그 2 다음.