1. 꼭 필요한 자료구조 기초

탐색이란 많은 양의 데이터 중에서 원하는 데이터를 찾는 과정을 의미한다. 프로그래밍에서는 그래프, 트리 등의 자료구조 안에서 탐색을 하는 문제를 자주 다룬다. 대표적인 탐색 알고리즘으로 DFS/BFS를 꼽을 수 있는데 이 두 알고리즘의 원리를 제대로 이해해야 코딩 테스트의 탐색 문제 유형을 풀 수 있다. 그런데 DFS와 BFS를 제대로 이해하려면 기본 자료구조인 스택과 큐에 대한 이해가 전제되어야 하므로 사전 학습으로 스택과 큐, 재귀 함수를 간단히 정리하고자 한다.

자료구조란 데이터를 표현하고 관리하고 처리하기 위한 구조를 의미한다. 그중 스택과 큐는 자료구조의 기초 개념으로 다음의 두 핵심적인 함수로 구성된다.

• 삽입(Push) : 데이터를 삽입한다.
• 삭제(Pop) : 데이터를 삭제한다.

물론 실제로 스택과 큐를 사용할 때는 삽입과 삭제 외에도 오버플로와 언더플로를 고민해야 한다. 오버플로는 특정한 자료구조가 수용할 수 있는 데이터의 크기가 이미 가득 찬 상태에서 삽입 연산을 수행할 때 발생한다. 즉, 저장 공간을 벗어나 데이터가 넘쳐흐를 때 발생한다. 반면에 특정한 자료구조에 데이터가 전혀 들어 있지 않은 상태에서 삭제 연산을 수행하면 데이터가 전혀 없는 상태이므로 언더플로가 발생한다.

스택

스택은 박스 쌓기에 비유할 수 있다. 흔히 박스는 아래에서부터 위로 차곡차곡 쌓는다. 그리고 아래에 있는 박스를 치우기 위해서는 위에 있는 박스를 먼저 내려야한다. 이러한 구조를 선입후출 구조 또는 후입선출 구조라고 한다.

위 그림과 같이 가상의 스택을 하나 준비하여 일련의 연산을 수행해보자. 입구와 출구가 동일한 형태로 스택을 시각화할 수 있다. 이를 파이썬 코드로 표현하면 다음과 같다.

코드

stack = []

# 삽입(5) - 삽입(2) - 삽입(3) - 삽입(7) - 삭제() - 삽입(1) - 삽입(4) - 삭제()
stack.append(5)
stack.append(2)
stack.append(3)
stack.append(7)
stack.pop()
stack.append(1)
stack.append(4)
stack.pop()

print(stack) # 최하단 원소부터 출력
print(stack[::-1]) # 최상단 원소부터 출력

결과

[5, 2, 3, 1]
[1, 3, 2, 5]

파이썬에서 스택을 이용할 때에는 별도의 라이브러리를 사용할 필요가 없다. 기본 리스트에서 append()와 pop() 메서드를 이용하면 스택 자료구조와 동일하게 동작한다. append() 메서드는 리스트의 가장 뒤쪽에 데이터를 삽입하고, pop() 메서드는 리스트의 가장 뒤쪽에서 데이터를 꺼내기 때문이다.

큐

큐는 대기줄에 비유할 수 있다. 우리가 흔히 놀이공원에 입장하기 위해 줄을 설 때, 먼저 온 사람이 먼저 들어가게 된다. 물론 새치기는 없다고 가정한다. 나중에 온 사람일수록 나중에 들어가기 때문에 흔히 '공정한' 자료구조라고 비유된다. 이러한 구조를 선입선출 구조라고 한다.

큐는 다음과 같이 입구와 출구가 모두 뚫려 있는 터널과 같은 형태로 시각화할 수 있다. 이를 파이썬 코드로 표현하면 다음과 같다.

코드

from collections import deque

# 큐(Queue) 구현을 위해 deque 라이브러리 사용
queue = deque()

# 삽입(5) - 삽입(2) - 삽입(3) - 삽입(7) - 삭제() - 삽입(1) - 삽입(4) - 삭제()
queue.append(5)
queue.append(2)
queue.append(3)
queue.append(7)
queue.popleft()
queue.append(1)
queue.append(4)
queue.popleft()

print(queue)     # 먼저 들어온 순서대로 출력
queue.reverse()  # 다음 출력을 위해 역순으로 바꾸기
print(queue)     # 나중에 들어온 원소부터 출력

결과

deque([3, 7, 1, 4])
deque([4, 1, 7, 3])

파이썬으로 큐를 구현할 때는 collections모듈에서 제공하는 deque 자료구조를 활용하자. deque는 스택과 큐의 장점을 모두 채택한 것인데 데이터를 넣고 빼는 속도가 리스트 자료형에 비해 효율적이며 queue 라이브러리를 이용하는 것보다 더 간단하다. 더불어 코딩 테스트에서는 collections 모듈과 같은 기본 라이브러리 사용을 허용하므로 안심하고 사용해도 괜찮다. 또한, deque 객체를 리스트 자료형으로 변경하고자 한다면 list() 메서드를 이용하자. 이 소스코드에서는 list(queue)를 하면 리스트 자료형이 반환된다.

재귀 함수

DFS와 BFS를 구현하려면 재귀 함수도 이해하고 있어야 한다. 재귀 함수란 자기 자신을 다시 호출하는 함수를 의미한다. 가장 간단한 재귀 함수는 다음과 같다.

def recursive_function():
    print('재귀 함수를 호출합니다')
    return recursive_function()

recursive_function()

이 코드를 실행하면 '재귀 함수를 호출합니다'라는 문자열을 무한히 출력한다. 여기서 정의한 recursive_function()이 자기 자신을 계속해서 추가로 불러오기 때문이다. 물론 어느 정도 출력하다가 다음과 같은 오류 메시지를 출력하고 멈출 것이다.

RecursionError: maximum recursion depth exceeded while pickling an object

이 오류 메시지는 재귀의 최대 깊이를 초과했다는 내용이다. 보통 파이썬 인터프리터는 호출 횟수 제한이 있는데 이 한계를 벗어났기 때문이다. 따라서 무한대로 재귀 호출을 진행할 수는 없다 (애초에 무한한 재귀 호출을 요구하는 문제 또한 출제되지 않을 것이다.)

재귀 함수는 수학 시간에 한 번씩 언급되는 프랙털 구조와 흡사하다. 위는 시에르핀스키의 삼각형이다. 삼각형 안에 또 다른 삼각형이 무한히 존재하는 이 그림은 프랙털 구조의 대표적인 그림으로 실제로 이러한 프랙털 이미지를 출력하는 프로그램을 작성할 때에도 재귀 함수를 이용한다.

재귀 함수의 종료 조건

재귀 함수를 문제 풀이에서 사용할 때는 재귀 함수가 언제 끝날지, 종료 조건을 꼭 명시해야 한다. 자칫 종료 조건을 명시하지 않으면 함수가 무한 호출될 수 있다. 예를 들어 다음은 재귀 함수를 100번 호출하도록 작성한 코드이다. 재귀 함수 초반에 등장하는 if문이 종료 조건 역할을 수행한다.

def recursive_function(i):
    # 100번째 출력했을 때 종료되도록 종료 조건 명시
    if i == 100:
        return
    print(i, '번째 재귀 함수에서', i+1, '번째 재귀 함수를 호출합니다.')
    recursive_function(i+1)
    print(i, '번째 재귀 함수를 종료합니다.')

recursive_function(1)

컴퓨터 내부에서 재귀 함수의 수행은 스택 자료구조를 이용한다. 함수를 계속 호출했을 때 가장 마지막에 호출한 함수가 먼저 수행을 끝내야 그 앞의 함수 호출이 종료되기 때문이다. 컴퓨터의 구조 측면에서 보자면 연속해서 호출되는 함수는 메인 메모리의 스택 공간에 적재되므로 재귀 함수는 스택 자료구조와 같다는 말은 틀린 말이 아니다. 컴퓨터 구조는 이 포스팅 범위를 벗어나니 컴퓨터 구조 이야기는 잊고, 재귀 함수는 내부적으로 스택 자료구조와 동일하다는 것만 기억하자. 따라서 스택 자료구조를 활용해야 하는 상당수 알고리즘은 재귀 함수를 이용해서 간편하게 구현될 수 있다. DFS가 대표적인 예이다.

재귀 함수를 이용하는 대표적인 예재로는 팩토리얼 문제가 있다. 팩토리얼 기호는 느낌표(!)를 사용하며 n!은 1 × 2 × 3 × … × (n-1) × n을 의미한다. 수학적으로 0!과 1!의 값은 1로 같다는 성질을 이용하여 팩토리얼 함수는 n이 1 이하가 되었을 때 함수를 종료하는 재귀 함수의 형태로 구현할 수 있다.

팩토리얼을 반복적으로 구현한 방식과 재귀적으로 구현한 두 방식을 비교해보자.

코드

# 반복적으로 구현한 n!
def factorial_iterative(n):
    result = 1
    # 1부터 n까지의 수를 차례대로 곱하기
    for i in range(1, n+1):
        result *= i
    return result

# 재귀적으로 구현한 n!
def factorial_recursive(n):
    if n <= 1:   # n이 1 이하인 경우 1을 반환
        return 1
    # n! = n * (n-1)!를 그대로 코드로 작성하기
    return n * factorial_recursive(n-1)

# 각각의 방식으로 구현한 n! 출력 (n=5)
print('반복적으로 구현:', factorial_iterative(5))
print('재귀적으로 구현:', factorial_recursive(5))

결과

반복적으로 구현: 120
재귀적으로 구현: 120

실행 결과는 동일하다. 그렇다면 반복문 대신에 재귀 함수를 사용했을 때 얻을 수 있는 장점은 무엇일까?

위의 코드를 비교했을 때 재귀 함수의 코드가 더 간결한 것을 알 수 있다. 이렇게 간결해진 이유는 재귀 함수가 수학적 점화식(재귀식)을 그대로 소스코드로 옮겼기 때문이다. 수학에서 점화식은 특정한 함수를 자신보다 더 작은 변수에 대한 함수와의 관계로 표현한 것을 의미한다. 이 개념은 이후에 배울 '다이나믹 프로그래밍'으로 이어지기 때문에 중요하다.

팩토리얼을 수학적 점화식으로 표현해보면 다음과 같다.

1. n이 0 혹은 1일 때 : factorial(n) = 1
2. n이 1보다 클 때 : factorial(n) = n * factorial(n-1)

일반적으로 우리는 점화식에서 종료 조건을 찾을 수 있는데, 앞 예시에서 종료 조건은 'n이 0 혹은 1일 때'이다. 팩토리얼은 n이 양의 정수일 때만 유효하기 때문에 n이 1 이하인 경우 1을 반환할 수 있도록 재귀 함수를 작성해야 한다. n이 1 이하인 경우를 고려하지 않으면 재귀 함수가 무한히 반복되어 결과를 출력하지 못할 것이다. 또한 n의 값으로 음수가 들어왔을 때는 입력 범위 오류로, 오류 메시지를 띄우도록 코드를 작성할 수도 있다. 따라서 재귀 함수 내에서 특정 조건일 때 더 이상 재귀적으로 함수를 호출하지 않고 종료하도록 if문을 이용하여 꼭 종료 조건을 구현해주어야 한다.