재미있네요.

y=\log{x}

의 미분이

y'=\frac{1}{x}

따라서, 같은 법선을 가지는 음함수 $F(x,y)=0$는 이 직선과 직교합니다. $(1,\frac{1}{x})$에서는 계산하기 어렵기 때문에 $(x,1)$로 둡니다.

0$F(x,y)=0$의 $(x_0,y_0)$에 있어서의 법선의 벡터는

(\left.\frac{\partial F}{\partial x}\right|_{x=x_0},\left.\frac{\partial F}{\partial y}\right|_{y=y_0})

주어지는 것에 유의하면 조건은

\int(x)dx+\int(1)dy = 0

이 되고, 이것을 풀면,

y = -\frac{1}{2}x^2 + C

을 얻을 수 있습니다. 양자의 접선 및 법선의 기울기 $y$의 값에 따르지 않기 때문에, 이 곡선은 임의는 $y=\log{x}+C$에 대해 직교합니다.

이하 python에 의한 그림.

요컨대

한 양 함수 $y = f (x) $에 대해 또 다른 양 함수

g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C

임의의 점에서 직교한다.

가 되면, 그 밖에도 여러가지 함수를 시험해 보고 싶어지는 것이 자연스러운 흐름입니다.

y = 1/x

f(x) = \frac{1}{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{-x^{-2}} dx + C \\
= \int x^2 dx + C \\
= \frac{1}{3}x^3 + C \\

y = e^x

f(x) = e^x \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{e^x} dx + C \\
= -\int e^{-x} dx + C \\
= e^{-x} + C

y = sqrt(x)

f(x) = \sqrt{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} dx + C \\
= -2\int \sqrt{x} dx + C \\
= -\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + C

y = sin(x)

이쪽으로부터 대학 학부 레벨의 적분이 되어 옵니다만, 계산 과정이 길어지므로 도중 생략하겠습니다.

f(x) = \sin{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{\cos{x}} dx + C \\
= -\frac{1}{2}\log{\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}} + C \\

y = tan(x)

f(x) = \tan{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{\frac{1}{\cos^2{x}}} dx + C \\
= -\int \cos^2{x} dx + C \\
= -\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin{x} + C \\

y = sinh(x)

f(x) = \sinh{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{\cosh{x}} dx + C \\
= -2\arctan{e^{x}} + C \\

y = cosh(x)

f(x) = \cosh{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{\sinh{x}} dx + C \\
= -\frac{1}{2}\log{\frac{\cosh{x}-1}{\cosh{x}+1}}+C

y = tanh(x)

f(x) = \tanh{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{\frac{1}{\cosh^2{x}}} dx + C \\
= -\int \cosh^2{x} dx + C \\
= -\frac{1}{2}(x+\sinh{x}\cosh{x})+C

소스 코드

대표해서 마지막 녀석만 싣습니다.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-4,4,100)
y = -(1/2)*(x+np.sinh(x)*np.cosh(x))
plt.figure(figsize=(6,6))
for i in range(-10,10):
    plt.plot(x,y+i,c='black',linewidth=0.5)
y = np.tanh(x)
for i in range(-10,10):
    plt.plot(x,y+i,c='red',linewidth=0.5)
plt.xlim((-4,4))
plt.ylim((-4,4))
plt.show()

신세를 낸 페이지

적분 1/cosx
적분(cosx)^2
1/cosh[x]의 적분에 의문이 있습니다.
htps : // 라고 해서 r. 코m/제니유키 0922/s 타츠 s/1286225107447291906
tanh의 의미, 그래프, 미분, 적분