이코테-chapter9: 최단 경로-다익스트라 최단 경로 알고리즘

다익스트라 최단 경로 알고리즘

정의 & 특징

• 다익스트라, dijkstra
• 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구하는 알고리즘.
• 음의 간선이 없을 때, 정상적으로 동작한다.
• 음의 간선이란 0보다 작은 값을 가지는 간선을 의미.
• 현실 세계의 길(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않으므로 다익스트라 알고리즘은 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택된다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다.
• 이유는 매번 가장 비용이 적은 노드를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다.
• 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다.
• 다익스트라와 데이크스트라는 같은 말이다.

알고리즘 원리 과정

1. 출발 노드를 설정
2. 최단 거리 테이블을 초기화
3. 방문하지 않는 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신.
5. 위 과정에서 3,4 번을 반복.

다익스트라 알고리즘을 구현하는 방법

1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작
2. 구현하기에 까다롭지만 빠르게 동작

간단한 다익스트라 알고리즘

• O(V^2) 시간복잡도를 가지며, V는 노드의 개수를 의미.
• 처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언.
• 이후에 단계마다 방문하지 않는 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)
• 전체 노드의 개수가 5000개 이하라면 위 방식으로 문제를 구현할 수 있다.
• but, 10000개를 넘어가는 문제라면 개선된 다익스트라 알고리즘을 사용해야 한다.

간단한 다익스트라 알고리즘 소스코드

import sys

input = sys.stdin.readline
inf = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정.

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [inf] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않는 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환.
def get_smallest_node():
    min_value = inf
    index = 0  # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)

    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i

    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]

    # 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if distance[i] == inf:
        print('infinity')
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

개선된 다익스트라 알고리즘

• 최악의 경우에도 시간 복잡도 O(E*logV)를 보장.
• V는 노드의 개수, E는 간선의 개수를 의미.
• 힙 자료구조를 사용.

개선된 다익스트라 알고리즘 소스코드

import heapq
import sys

input = sys.stdin.readline
inf = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [inf] * (n+1)

# 모든간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush((q, (0, start)))
    distance[start] = 0

    while q:  # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기;
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if distance[i] == inf:
        print('infinity')
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

출처 & 깃허브

이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with python

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