소개

드로네법 등에서는 외접원 내에 있는 점이 포함되는지의 여부를 판정합니다. 외접원 내에 점이 포함되는지의 여부는 최종적으로는 행렬식을 이용한 아름다운 공식 (참고 : 점이 삼각형 외접원 안쪽인지 판정하고 싶다 - Thoth Children h tp // w w. 어쩌면 ld 벽돌. m / chp r / 5b에서 db4341f88f267247fd6 )로 판정할 수 있지만 그 증명을 여기에서 할 것입니다.
전제로 다음 그림과 같은 상황을 고려하십시오.

외접원의 중심과 반경을 구하는 방법

외접원의 중심은 삼각형의 정점과의 거리가 모두 같아지는 점이기 때문에,

OP^2 = PA^2 \\
OP^2 = PB^2

됩니다. 그러므로

x_p ^2 + y_p^2 = (x_1 - x_p)^2 + (y_1 - y_p)^2\\
x_p ^2 + y_p^2 = (x_1 - y_p)^2 + (y_2 - y_p)^2

이것을 정리하면 $x_p, y_p$의 제곱항이 사라지고,

2x_1 x_p + 2y_1 y_p = x_1^2 + y_1^2\\
2x_2 x_p + 2y_2 y_p = x_2^2 + y_2^2

행렬로 표현하여 이것을 풀면,

\begin{align}
2\begin{pmatrix}
 x_1 & y_1 \\
 x_2 & y_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 x_p \\
 y_p
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
x_1^2 + y_1^2\\
x_2^2 + y_2^2
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
 x_p \\
 y_p
\end{pmatrix}
&=
\frac{1}{2} \begin{pmatrix}
 x_1 & y_1 \\
 x_2 & y_2
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
x_1^2 + y_1^2\\
x_2^2 + y_2^2
\end{pmatrix}\\

&=
\frac{1}{2} 
\frac{1}{x_1 y_2 - y_1 x_2}
\begin{pmatrix}
 y_2 & -y_1 \\
 -x_2 & x_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1^2 + y_1^2\\
x_2^2 + y_2^2
\end{pmatrix}
\end{align}

그런데 삼각형의 면적은 $S=\frac{1}{2} (x_1y_2 - y_1x_2)$였지요.
이를 바탕으로 외접원의 반경 $ r $는 어떻게 될까요

\begin{align}
r^2 &=
\begin{pmatrix}
 x_p &
 y_p
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 x_p \\
 y_p
\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{16S^2}
\begin{pmatrix}
x_1^2 + y_1^2 &
x_2^2 + y_2^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 y_2 & -y_1 \\
 -x_2 & x_1
\end{pmatrix}^T
\begin{pmatrix}
 y_2 & -y_1 \\
 -x_2 & x_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1^2 + y_1^2\\
x_2^2 + y_2^2
\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{16S^2}
\begin{pmatrix}
x_1^2 + y_1^2 &
x_2^2 + y_2^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 y_2 & -x_2 \\
 -y_1 & x_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 y_2 & -y_1 \\
 -x_2 & x_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1^2 + y_1^2\\
x_2^2 + y_2^2
\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{16S^2}
\begin{pmatrix}
x_1^2 + y_1^2 &
x_2^2 + y_2^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 x_2^2 + y_2^2 & -x_1x_2 - y_1 y_2 \\
 -x_1x_2 - y_1 y_2 & x_1^2 + y_1^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1^2 + y_1^2\\
x_2^2 + y_2^2
\end{pmatrix}\\
\end{align}

여기서 $a^2 = OA^2 = x_1^2 + y_1^2$ , $b^2 = OB^2 = x_2^2 + y_2^2$, 또한 $S=\frac{1}{ 2} (x_1y_2 - y_1x_2)$로 식을 간결하게 합시다.

\begin{align}
r^2 
&= \frac{1}{16S^2}
\begin{pmatrix}
a^2 & b^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 b^2 & -x_1x_2 - y_1 y_2 \\
 -x_1x_2 - y_1 y_2 & a^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a^2\\
b^2
\end{pmatrix}\\
&= \frac{1}{16S^2}a^2 b^2 \{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2\}
\end{align}

그런데 마지막 항은 변 $AB$의 길이의 제곱을 나타냅니다.
따라서 가장자리 $AB$의 길이를 $c$로 한다면,

r^2 = \frac{1}{16S^2}a^2b^2c^2

외접원 내의 점인지 여부를 판정한다.

지금까지 내놓아 온 결론을 바탕으로 외접원 내의 점 $(x, y)$가 만족해야 할 조건을 생각하면,

(x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 < r^2 \\
\Leftrightarrow
x^2 - 2x_p x + y^2 -2y_p y < 0\\

여기에서

\begin{pmatrix}
 x_p \\
 y_p
\end{pmatrix}= 
\frac{1}{2}
\frac{1}{x_1 y_2 - y_1 x_2}
\begin{pmatrix}
 y_2 & -y_1 \\
 -x_2 & x_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a^2\\
b^2
\end{pmatrix}

보다, 부등식의 양변에 $x_1 y_2 - y_1 x_2$를 걸면, $x_1 y_2 - y_1 x_2$가 양수인 경우 그렇다면,

(x_1 y_2 - y_1 x_2) (x^2 + y^2)  - 
x \begin{pmatrix}
 y_2 & -y_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a^2\\
b^2
\end{pmatrix}
- y
\begin{pmatrix}
 -x_2 & x_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a^2\\
b^2
\end{pmatrix} < 0

행렬식을 이용한 재기록을 행하면,

(x^2 + y^2)  
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2
\end{vmatrix}


-x
\begin{vmatrix}
a^2 & b^2 \\
y_1 & y_2
\end{vmatrix}

+ y
\begin{vmatrix}
a^2 & b^2 \\
x_1 & x_2
\end{vmatrix} < 0

이들은 총 3×3 행렬로 표현될 수 있다. 그런 다음 $ a, b $를 확장하면,

\begin{vmatrix}
x^2 + y^2 & x & y \\
x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 \\
x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2
\end{vmatrix}
 < 0

이것을 만족하는 점 $ (x, y) $는 외접원의 내부 점에 맞습니다.
다만, 이것은 점 $O$, 점 $A$, 점 $B$가 반시계 방향으로 배치되어 있는 것이 전제이다.