소개

PRML을 참고로하면서 베이즈의 정리를 그림으로 보았습니다.

베이즈 정리 공식

임의의 확률 변수를 $X,Y$로 하면 다음 식이 됩니다.

$$ P(Y | X) =\frac{P(X|Y)P(Y)}{P(X)} $$

여기서 $P(Y|X)$는 X가 일어났을 때 Y가 일어날 확률이고, $P(X|Y)$는 Y가 일어났을 때 X가 일어날 확률을 나타냅니다.
, , , 라고는 말했지만, 왜 이 식이 성립되는지 이미지 힘들군요. (적어도 나는 그랬다 ...)
그래서 가능한 한 그림을 이용하여 이 식을 풀어 가려고 합니다.

각 확률의 그림

구체적인 예로서 다음과 같은 검은 구슬과 하얀 구슬이 들어 있는 빨간 상자, 파란 상자, 노란 상자, 녹색 상자가 있는 상황을 생각해 보겠습니다.

이 상자에서 구슬을 꺼내는 경우, 어떤 상자를 선택할지, 어떤 구슬을 선택하는지에 대한 두 가지 선택이 필요합니다. 이 두 가지 선택이 각각 확률 변수 $X,Y$로 하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$ X = {파란 상자, 빨간 상자, 노란 상자, 녹색 상자}$$
$$ Y = {검은 구슬, 하얀 구슬} $$

이 상황에서 눈을 감고 공을 어떤 상자에서 꺼내면 검은 구슬이 나왔습니다. 이때 선택한 상자가 노란 상자일 확률 $P(X=노란 상자|Y=검은 구슬)$를 찾아 봅시다.
먼저 확률 변수 $X, Y$의 구체적인 수를 정리해 보겠습니다.


여기서, 노란 상자에 포함되는 구슬의 개수를 녹색 음영, 검은 구슬의 전수를 노란색 음영, 노란 상자 및 검은 구슬을 선택하는 개수를 아카마루로 나타냅니다. 그러면 검은 구슬을 선택했을 때 노란 상자일 확률은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

여기서 오렌지색 격자는 모든 구슬의 수입니다.
위 그림을 식으로 나타내면 다음과 같이 됩니다.

$$ P(X=노란 상자|Y=검은 구슬)=\frac{P(Y=검은 구슬|X=노란 상자)P(X=노란 상자)}{P(Y=검은 구슬)} $$

실제로 계산하면 다음과 같습니다.

$$ P(X=노란 상자|Y=검은 구슬)=\frac{\frac{1}{4}\frac{4}{16}}{\frac{9}{16}}=\frac{1 }{9}$$

끝

마지막 쪽이 달려가 버렸기 때문에 설명이 어색해져 버렸습니다. 더 연마합니다,,,