1. 이 기사에서 정리하고 싶은 것

1개의 모집단으로부터 무작위로 n개의 표본을 추출하고, 그 표본으로부터 모집단의 모수(평균$\mu$나 분산$\sigma^2$)의 구간 추정을 실시하는 방법. 그림으로 말하면 아래.

2. 요약 배경

참고서 등에서 공부하고 있었는데, 아래와 같은 다양한 케이스의 구간 추정 방법이 나왔다.

모집단 분포 ... 알려진/알 수 없음

모 분산 ... 알려진/알 수 없음

각각의 경우에, 새롭게 정의하는 확률 변수와, 그 확률 변수가 따르는 분포(표준 정규 분포/t 분포/카이 제곱 분포)가 다르고, 기억할 수 없었다. 정리해 가면, 공통되는 생각이 보였다.

3. 공통 사고 방식

아무도 이 ①~③의 흐름으로 구간 추정을 하고 있다.

4. 각 케이스와 공통된 사고방식에 비추면

아래 그림과 같이 모든 공통 사고 방식으로 구간 추정을 할 수 있습니다. 적자가 포인트라고 생각한다.
그림의 ★ 부분은 5 장에서 설명한다.

5.4장의 그림 중의 ★부분에 대한 설명

5.1. ★1에 대해

대비를 취하면 이런 느낌이 된다.


표본 평균을 사용하면 왜 자유도가 1 내리는지에 대해서는 아래 사이트에서 이해할 수 있었다.
@takayan4 씨 가르쳐 주셔서 감사합니다.

・고등학교 수학의 아름다운 이야기
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5.2. ★2에 대해서

6. 덤 (확률 밀도 함수)

관련 확률 밀도 함수를 MATLAB에서 플롯했습니다.
이 코드를 실행하려면 Statistics and Machine Learning Toolbox가 필요합니다.

6.1. 정규 분포와 t 분포

t분포의 자유도를 늘리면 표준정규분포에 가까워진다.
이것은 n이 커지면 불편 분산이 모분산에 가까워져 가기 때문이다.

코드

xrng = [-3,3];
fplot(@(x) normpdf(x,0,1),xrng,'DisplayName','Standard Normal Distribution') % 標準正規分布
hold on
fplot(@(x) tpdf(x,5),xrng,'DisplayName','t Distribution with \nu=5')      % 自由度5のt分布
fplot(@(x) tpdf(x,10),xrng,'DisplayName','t Distribution with \nu=10')    % 自由度10のt分布
legend
hold off

6.2. 카이 제곱 분포

코드

xrng = [0,20];
fplot(@(x) chi2pdf(x,1),xrng,'DisplayName','\nu=1') %自由度1のカイ二乗分布
hold on
fplot(@(x) chi2pdf(x,2),xrng,'DisplayName','\nu=2') %自由度2のカイ二乗分布
fplot(@(x) chi2pdf(x,3),xrng,'DisplayName','\nu=3') %自由度3のカイ二乗分布
fplot(@(x) chi2pdf(x,5),xrng,'DisplayName','\nu=5') %自由度5のカイ二乗分布
fplot(@(x) chi2pdf(x,10),xrng,'DisplayName','\nu=10') %自由度10のカイ二乗分布
legend
hold off

7. 참고문헌

· 마세마 출판사 통계학 캠퍼스 · 세미나 개정 5
https://www.mathema.jp/product/통계학 캠퍼스 세미나 - 개정 5/

· 요비놀리 확률 통계 추정 · 검정 입문
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・고등학교 수학의 아름다운 이야기
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