신형 코로나 신규 발생수를 1차 함수로 근사한다.

곤펠츠 곡선이란? (12) 에서 COVID-19 의 누계 감염자수와 신규 감염자수가 이하와 같이 나타낼 수 있는 것을 나타냈습니다. (Gmax: 각 파마다 총 감염자수, k: 감쇠계수)

\begin{align}
\ G(t)&=G_{max}e^{-e^{-kt}}\\
\frac{dG}{dt} &=kG_{max}e^{-kt-e^{-kt}}\\
\end{align}\\

2020.3.1 (day 0) - 2021.2.19 (day 355)의 전체 경과를 단일 식, 단일 곡선으로 거의 완전히 근사할 수 있었습니다. (계산식과 실측치의 상관 계수: R2 = 0.9999)
위 식은 이중 지수 함수이며 그리기 위해서는 Mac의 Grapher나 엑셀 등의 소프트가 필요합니다. 이 글에서는 보다 간편하게 그릴 수 있도록 신규 발생수를 1차 함수로 근사하는 방법을 설명합니다.

위 그림과 같이 곤펠츠 곡선은 누계 발생수가 최대값의 1/e에 도달했을 때가 변곡점이 되어 신규 발생수가 피크에 달합니다.
시작부터 피크까지의 오르막과 피크에서 종식까지의 내리막을 2개의 직선으로 근사합니다.
시작부터 피크까지의 일수를 d, 피크시 발생수를 h로 합니다.
신규 발생수를 이중지수 함수로 나타내면,

\begin{align}
\ k&=\frac{2}{d}\\
\ y&=ehe^{-k(x-d)-e^{-k(x-d)}}
\end{align}\\

오르막(녹선)은

y=\frac{h}{d}x

내리막(푸른 선)은

\begin{align}
開始からピーク：ピークから終息&=\frac{1}{e}: 1-\frac{1}{e}\\
&=1:e-1\\
\end{align}\\

\begin{align}
\ y&=-\frac{h}{(e-1)d}x+h+\frac{h}{e-1}\\
\ &\fallingdotseq -\frac{0.58h}{d}x+1.58h\\
\end{align}\\

이 파동의 총 감염자 수 Gmax는 삼각형의 면적과 같습니다.

\begin{align}
\ G_{max}&=\frac{edh}{2}\\
\ &\fallingdotseq 1.36dh\\
\end{align}\\

2개의 1차 함수와 총 감염자수는 「시작부터 피크까지의 일수: d」와 「피크시 발생수: h」의 2개의 값으로부터 산출할 수 있습니다.

도중 경과로부터 총 감염자수와 종식일을 예측한다

한 지역에서 다음과 같은 경과가 있다고 가정합니다.

30일째에 35명의 신규 발생수가 되어, 이 시점을 피크로 하면 Gmax=1.36dh=1428명이 됩니다. 30 e = 82 일째에 종식 할 것으로 예상됩니다. 물론, 앞으로 더욱 늘어나 피크가 뒤로 벗어날 가능성은 있습니다. 또 일본의 제3파와 같이 복수의 곤펠츠 곡선이 겹칠 가능성도 있습니다. 그 때문에, 이 1428명이라고 하는 숫자는 「순조롭게 피크 아웃해 가장 총 감염자수가 적었던 경우」의 상정이 됩니다. 이 가정되는 총 감염자 수가 지역의 의료 용량을 초과하면 의료 붕괴의 우려가 있습니다.

곤펠츠 곡선이란? (1)
곤펠츠 곡선이란? (2)
곤펠츠 곡선이란? (3)
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곤펠츠 곡선이란? (12)
곤펠츠 곡선이란? (14)