개요

함수의 극한값에 관한 문제(고등학교 수학)를 Python으로 해결해 갑니다. 연습 문제와 해답 예의 작성 지원을 목적으로 하고 있습니다(교원용입니다).

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질문 1

다음 극한값을 구하라.

$$\lim_{x\to -\infty}\frac{5x^2-x}{4-2x^2} $$

질문 1을 풀는 방법(참고)

분자 분모를 $x^2$ 로 나눕니다.

$$\lim_{x\to -\infty}\frac{5x^2-x}{4-2x^2} =\lim_{x\to -\infty}\frac{5-\frac{1}{ x}}{\frac{4}{x^2}-2} = -\frac{5}{2}$$

질문 1의 해를 주는 Python 프로그램

sympy를 사용하여 해결합니다. sympy는 기호 계산 (수식 처리) 패키지입니다. 무한대 $\infty$ 는 sympy.oo 로 주어집니다.

파이썬

from sympy import oo, limit, Symbol
x = Symbol('x')
fx = ( 5*x**2 - x ) / ( 4 - 2*x**2 )
ans = limit(fx, x, -oo)
print(f'解：{ans}')

실행 결과

解：-5/2

덤 1

분수 함수 $\frac{5x^2-x}{4-2x^2} $ 의 그래프를 그려 보겠습니다. $x\to -\infty$ 를 보려면 $x$ 축을 로그 스케일로 만듭니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import Symbol,solve

# 定義域を確認
g = ( 4 - 2*x**2 ) # 分母
sx = solve(g)
tmp = ', '.join(map(str,sx))
print(f'分母 ( {g} ) がゼロになるのは（定義域から除外されるのは） x= {tmp}　')

# グラフの描画 ここからは numpy を利用
x1 = -np.logspace(-2, 4, num=100)[::-1] # -10e4  ～ -10e-2
x2 =  np.logspace(-2, 4, num=100)       #  10e-2 ～  10e4
x  =  np.concatenate([x1,x2])
f = lambda x : ( 5*x**2 - x ) / ( 4 - 2*x**2 ) 
y = f(x)
plt.figure(dpi=120)
plt.plot(x, y, marker='.')
plt.ylim(-10,10)
plt.xscale('symlog') # 対称ログスケール
plt.show()

덤 1 실행 결과

分母 ( -2*x**2 + 4 ) がゼロになるのは（定義域から除外されるのは） x= -sqrt(2), sqrt(2)　

그래프에서도, $x\to -\infty$ 로, $-2.5$ 에 수렴하는 것을 추측할 수 있습니다.

덤 2

정의 영역에서 벗어나는 $x=\pm\sqrt{2}$ 에서 어떤 값에 접근하는지 살펴보겠습니다. 여기에서는 $\sqrt{2}$ 에 대해, 오른쪽($\sqrt{2}+\delta$)으로부터와 좌측($\sqrt{2}-\delta$)으로부터의 접근했을 때의 값을 보자 합니다. 즉, $x\to\sqrt{2}^{+}$, $x\to\sqrt{2}^{-}$일 때의 극한값을 구합니다.
sympy.limit() 의 네 번째 인수를 '+' 또는 '-' 로 설정합니다.

파이썬

from sympy import limit, Symbol,sqrt
x = Symbol('x')
fx = ( 5*x**2 - x ) / ( 4 - 2*x**2 )
ans1 = limit(fx, x, sqrt(2), '+')
ans2 = limit(fx, x, sqrt(2), '-')
print(f'解：{ans1}, {ans2}')

덤 2 실행 결과

그래프 결과와 일치합니다.

解：-oo, oo

질문 2

다음 극한값을 구하라.

$$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+1}-x ) $$

질문 2를 풀는 방법(참고)

\begin{align}
\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+1}-x )  & = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}  \\
& =  \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x} \\
& =  \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \\
& = 0
\end{align}

질문 2의 해를 주는 Python 프로그램

파이썬

from sympy import oo, limit, Symbol, sqrt
x = Symbol('x')
fx = sqrt(x**2+1)-x
ans = limit(fx, x, oo)
print(f'解：{ans}')

실행 결과

解：0