파라미터와 궤적 (수학 II) 2

수학의 궤적을 찾는 문제

마지막 문제를 다시 생각해 봅시다.

문제

고등학교 수학 수학 II의 도형과 방정식 문제입니다.

실수의 파라미터 $t$에 의해, 다음과 같이 정해지는 $x$, $y$를 좌표로 하는 점 P의 궤적을 구합니다.
$$x=\frac{t}{1+t^2}\cdots\text{①},\quad y=\frac{1}{1+t^2}\cdots\text{②}$$

해답 그 2

Jupiter notebook에서 Wolfram Engine을 사용할 수 있게 되었으며 Mathematica가 많은 사람들이 사용할 수 있게 되었습니다. 이번 그림을 먼저 쓰기로 하겠습니다.

ParamatericPlot

ParametricPlot[{t/(1+t^2),1/(1+t^2)},{t,-10,10},PlotRange->{{-1,1},{-1,2}}]

궤적은 원 $$ x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac14$$로 예상됩니다.

\begin{aligned}[t]
 x^2+\left(y-\frac12\right)^2&=\left(\frac{t}{1+t^2}\right)^2+\left(\frac{1}{1+t^2}-\frac12\right)^2\\
&=\frac{t^2}{(1+t^2)^2}+\frac{1}{(1+t^2)^2}-\frac{1}{1+t^2}+\frac14\\
&=\frac{t^2+1-1-t^2}{(1+t^2)^2}+\frac14\\
&=\frac14
\end{aligned}

$$\therefore x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac14\cdots\text{③}$$
따라서, $t$의 값에 관계없이, 점 P는 이 원주상에 있게 됩니다.

마지막 해답에서는 중간에 $ y\ne0 $이므로,

'$y=0$일 때는 좋지 않을까? ? ? ? 』

라고 경고가 울립니다만, 이 해답이라면, $y=0$가 안되는 분위기는 전혀 없습니다.

두 가지 답변 검토

전회와 이번의 해답은,

$$\text{①}\wedge\text{②}\Rightarrow\text{③}$$

가 표시됩니다. 그러므로이 반대

$$\text{③}\Rightarrow\text{①}\wedge\text{②}$$

표시할 수 있는지 생각해 봅시다. 표시할 수 있으면, 이 원 모두가 궤적이 됩니다. 또한 표시할 수 없는 경우에는 제외되는 점이 있는 것입니다. 그리고 그 점을 제외하면 필요한 충분한 궤적이 요구됩니다.