소개

이번에는 실제로 슈레딩거 방정식을 이용하여 전자의 운동을 계산해 보겠습니다.

2 전자의 파동 함수

2.1 전자의 파동 함수의 표현

여기서는 포텐셜에 의한 에너지가 존재하지 않는 경우의 전자의 파동 함수를 구한다.
지난번에 구한 시간에 의존하지 않는 슈레딩거 방정식

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \phi(x)}{dx^2}=E\phi(x)

를 사용한다. 여기서 상수를 정리해,

k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}

이걸로

\frac{d^2 \phi(x)}{dx^2}=-k^2\phi(x)

2층 미분 방정식을 풀면 파동 함수가

\psi(x,t)=Ae^{ikx-i\omega t}+Be^{-ikx-i\omega t}

여기서 ω에 대해서

\omega=\frac{E}{\hbar}より\\
\omega=\frac{\hbar k^2}{2m}

이것을 파동 함수의 식에 대입함으로써

\psi(x,t)=Ae^{ik[x-\frac{\hbar k}{2m}t]} + Be^{-ik[x+\frac{\hbar k}{2m}t]}

A=1,B=0일 때 e의 어깨가 0이 되는 x를 x(t)로 두면

x(t)=\frac{\hbar k}{2m}t

이것은 평면파의 속도를 나타냅니다. 평면파의 피크 위치의 이동 속도를 위상 속도라고 부른다.

v=\frac{\hbar k}{2m}

또한 A = 1, B = 0 일 때의 파동 함수에 대해 실부와 허부는

Re[\psi(x,t)]=cos(k\left[ x-\frac{\hbar k}{2m}t \right])\\
Im[\psi(x,t)]=sin(k\left[ x-\frac{\hbar k}{2m}t \right])

전자의 파동 함수 애니메이션

E=1.00, 0.25[eV]일 때를 애니메이션으로 나타내 보면, 다음과 같은 파형이 얻어졌다.

참고

EMAN의 물리학

14일 만에 만드는 물리 컴퓨터