순열

순열이란, n개의 다른 것 중에서 r개를 꺼내, 순서를 붙여 1열에 늘어놓는 것을 말합니다.

_nP_r=n(n-1)(n-2)…(n+r-1)=\frac{n!}{(n-r)!}

_nP_n=n!　0!=1　_nP_0=1

원순열과 수주순열

원순열이란, n개의 다른 것을 원형으로 늘어놓는 늘어놓는 방법을 말합니다.
수주 순열이란 n개의 다른 것으로 수주(륜)를 만드는 순열을 말합니다.

※원형의 것을 뒤집으면 같은 것이 2개 할 수 있다고 하는 수주의 특징에 주의합니다

円順列の総数=(n-1)!

数珠順列の総数=\frac{円順列}{2}=\frac{(n-1)!}{2}

중복 순열

중복 순열이란 n개의 다른 것들 중에서 중복(동일한 것을 반복 취하는 것)을 허용하고 r개 꺼내는 순열을 말합니다.

_nΠ_r=n^r

n 명으로 장켄 할 때 손을 내는 방법.

다른 n 개의 주사위를 던질 때 눈이 나오는 법

n 명을 r 개의 방에 넣는 방법 (공실은 존재해도 좋다)

같은 것을 포함하는 순열

지금 n개의 것이 있고, 그중 p개는 같은 것, q개는 다른 같은 것, r개는 또 다른 같은 것,…,일 때, 이러한 n개의 것을 모두 사용해 1열에 늘어놓는 순열은, 다음과 같이 됩니다.

同じものを含む順列の総数=\frac{n!}{p!q!r!…}　（ただし、p+q+r+…=n）

조합

조합이란 n개의 다른 것들 중에서 순서를 문제 없이 r개를 꺼내서 한 쌍을 만드는 것을 말합니다.

_nC_r=\frac{_nP_r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r!)}

_nC_r=_nC_{n-r}　_nC_r=_{n-1}C_{r-1}+_{n-1}C_r　_nC_0=1

중복 조합

중복 조합이란, n개의 다른 것 중에서, 중복하는 것을 허가해, r개를 꺼내어 1개의 쌍을 만드는 것을 말합니다.

_nH_r=_{n+r-1}C_r

확률 정의

어떤 시도의 결과, 일어날 수 있는 모든 경우의 수가 n(U)대로, 이벤트 A가 일어나는 경우의 수가 n(A)대로일 때, 이벤트 A가 일어날 확률 P(A)는 다음과 같다. 에 정의됩니다.

P(A)=\frac{事象Aの起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数}=\frac{n(A)}{n(U)}　0\leq P(A)\leq 1

가법 정리

2개의 사건 A와 B에 대해서, 「A와 B가 함께 일어난다」라고 하는 사건을, A와 B의 적사상 A∩B라고 말해, 그 확률은 P(A∩B)로 나타내집니다. 「A 또는 B가 일어난다」라고 하는 사건을, A와 B의 적사상 A∪B라고 하고, 그 확률은 P(A∪B)로 나타내집니다.

“A와 B가 결코 동시에 일어나지 않는다” 때 서로 배반이라고 하며, 이러한 사건을 배반 사건이라고 합니다. 이 경우, A와 B의 적사상은 공사상이며, A∩B=φ가 되고, P(A∩B)=0이 됩니다.

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

승법 정리

두 가지 사건 A와 B가 서로 독립적인 경우(한 시도의 결과가 다른 시도의 결과에 영향을 미치지 않음)인 경우 다음 정리가 이루어집니다.

P(A∩B)=P(A)P(B)

조건부 확률

2개의 사건 A와 B에 대해서, 「A가 일어났을 때에 B가 일어난다」 조건부 확률 P(B|A)는 다음과 같이 정의됩니다.

P(B|A)=\frac{P(A∩B)}{P(A)}　P(A∩B)=P(A)P(B|A)

베이즈 정리

베이즈의 정리는 어떤 결과 (사건 B)가 발생했을 때 그 원인 (사건 A)을 추측하는 데 도움이되며 다음과 같이 정의됩니다.

P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}

P(A)는 원인으로 먼저 알 수 있고, 사건 B의 영향을 받지 않기 때문에 사전 확률이라고 하며, P(A|B)는 결과(B)를 알고 나면 원인을 아는 의미에서 사후 확률이라고 합니다. 또 P(B|A)는, 상정하는 파라미터가 있는 값을 취하는 경우에 관측하고 있는 일이나 사건이 일어날 수 있는 「그럴듯한」확률인 우도라고 말합니다.