선제점에서의 승률의 이항 로지스틱 회귀 모델

소개

이번에 처음 Advent calendar에 참가했습니다 학부 3년 사이토입니다. 이번은 실제의 데이터로부터 작성한 야구의 통계 모델을 소개해 가고 싶습니다.

목표

과거의 선제점에 주목한 승률로부터 경향을 찾아 향후의 경기 전개에 도움을 준다(를 위한 첫걸음).

친밀한 흥미가 있는 것을 모델링해 보자(라고 하기 위한 첫걸음).

모델 상세

이번 시합 종반에 선제하는 것이 승률이 높아지면 가설을 세우고, 또한 승률이 0~1로 들어가기 때문에 로지스틱 회귀 모델을 채용했습니다.

로지스틱 회귀란?

응답 변수가 2 치로 나타내는 경우에 사용되는 모델이며, 관계식은 로지스틱 방정식 (시그모이드 함수)이 되어 수식으로 나타내면


Pr(Y|X)=\frac{1}{1+e^{-(b_0+b_1x_1+…+b_nx_n)} }

라고 표현할 수 있다. 수식에서 b_1, b_2 ...를 회귀 계수, b_0을 상수 항이라고합니다.
이번에 설명 변수 x를 선제한 득점 x_1(Score)과 이닝 x_2(Inning), 응답 변수 Pr을 승패 Pr(1:승 0:패)(Result)로 했다. 또한, 각 설명 변수의 계수는 추정 사후 평균값을 산출하여 다음과 같이 되었다.

b_0
b_1
b_2

-0.02651897
0.74092991
0.03217324

데이터

육대학 준경식 야구 과거 10년분의 데이터
참조 사이트 (이하)를 csv 파일로 작성했다.

Score
Inning
Result

3
1
1

4
1
1

2
1
1

2
1
1

1
1
1

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샘플 코드

qiita.R

library(rstan)

d <- read.csv(file='NLab.csv')
data <- list(N=nrow(d), S=d$score, I=d$inning, R=d$result)
fit <- stan(file='NLab.stan', data=data, seed=1234)

plot(fit)

qiita.stan

data{
  int N;
  int<lower=0> S[N];
  int<lower=0> I[N];
  int<lower=0, upper=1> R[N];
}

parameters {
  real b[3];
}

transformed parameters {
  real q[N];
  for (n in 1:N)
    q[n] = inv_logit(b[1] + b[2]*S[n] + b[3]*I[n]);
}

model{
  for (n in 1:N)
    R[n] ~ bernoulli(q[n]);
}

결과

가로축을 이닝, 세로축을 승률로 하여 수치화, 가시화한 결과 이하와 같았다.
가로축을 득점으로 한 것도 작성했지만 선형이 되었기 때문에 할애하겠습니다. .

선제한 득점수가 1점일 때의 승률
선제한 득점수가 3점일 때의 승률
선제한 득점수가 5점 이상일 때의 승률

[1,] 0.6702522
[1,] 0.6667553
[1,] 0.6548684

[2,] 0.8104221
[2,] 0.8075978
[2,] 0.7992219

[3,] 0.8999064
[3,] 0.8980191
[3,] 0.8930583

[4,] 0.9497703
[4,] 0.9486481
[4,] 0.9460020

[5,] 0.9754705
[5,] 0.9748461
[5,] 0.9735122

[6,] 0.9881847
[6,] 0.9878499
[6,] 0.9871966

[7,] 0.9943470
[7,] 0.9941714
[7,] 0.9938558

[8,] 0.9973041
[8,] 0.9972132
[8,] 0.9970618

[9,] 0.9987163
[9,] 0.9986697
[9,] 0.9985973

선제한 득점수가 1점일 때의 승률