진동에 대해

음향에 대해서, 왠지 쓰려고 생각했지만, 처음에는 초보중의 초보, 왠지 진동에 대해서, 수학이나 프로그래밍으로 설명하려고 생각합니다. 어쨌든, 나 자신도 뭔가 잊고 있다고 생각했기 때문에 기억하기 위해서.

덧붙여서, 대학 1학년 정도의 레벨에 맞추어 쓰고 있습니다. 어째서, 대학 나온 적이 있는 사람은 알 것입니다.

그리고, 수학 어드벤트 캘린더의 일관으로서 씁니다. 거의 물리지만!!!!

단일 진동

단 진동을 풀다

이제 설명하겠습니다. 우선은 단진동입니다. 뭐, 단진동이라고 하면, 스프링과 질점의 운동이므로 간단하게 그림을 씁니다.



↑의 그림은, 점 O를 중심으로 진동하는 모습을 써 보았습니다. 여기에서는 점 O를 지나면 점 O로 돌아가도록 힘이 작용하고 있습니다. 여기서 스프링 상수를 $k$로 설정하면,

F = -kx

봄에 일하는 힘을 쓸 수 있습니다. $F$는 힘이고 $x$는 진동의 변위입니다. 자, 여기서 운동 방정식을 사용하면

m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = - kx

걸립니다. 단지, 여기서 $m$로 양변을 나누고

\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = - \omega^2 x  \quad (\omega=\sqrt{\frac{k}{m}})

어쨌든, 단 진동의 운동 방정식입니다. 그럼 이것을 풀어 봅시다. 정상적으로 적분해도 풀 수 없습니다. 그러나 이것은 선형 미분 방정식이므로 $x$

x(t) = Ae^{\lambda t}

합니다. $A$와 $\lambda$는 0이 아닌 상수입니다.

이것을 앞의 운동 방정식에 대입하면

(\lambda^2 + \omega^2)Ae^{\lambda t} = 0

여기서 $e^{\lambda t}$는 0이 아니므로 $\lambda^2 +\omega^2 = 0 $, 즉 $\lambda =\pm{i\omega}$ 입니다.

자, 여기서 $ c_1 $을 임의 상수로 한 $ x = c_1 e ^ {i\omega t} $는 운동 방정식을 만족하지만 $ c_2 $를 임의 상수로하여 $ x = c_2 e ^ { -i\omega t}$도 운동 방정식을 만족한다. 이들을 겹친 식,

x = c_1 e^{i\omega t} + c_2^{-i\omega t} 

역시 일반 솔루션입니다. 그런데, 여기서, 오일러의 공식 $e^{\pm\theta} =\cos\theta\pm\sin\theta$를 사용해, $A$, $B$를 임의 정수로 놓고,

x = A\cos\theta + B\sin\theta 

라고 쓸 수 있습니다. 여기에서 단일 진동

x = C\cos{(\omega t + \phi)}

어쨌든 할 수 있습니다. 여기서 $C$는 진폭이고 $(\omega t +\phi)$는 위상이라고 합니다.

단일 진동 시뮬레이션

그런데, 프로그래밍 요소가 없다고 느끼므로, 여기서, 단 진동의 시뮬레이션해 보겠습니다.

스크래치로 물었습니다.

감쇠 진동

그래서, 음, 뭐, 평상시의 진동에는 단진동 같은 운동은 좀처럼 없기 때문에, 대개, 마찰등의 저항력이 관계하고 있어, 뭐, 감쇠하는군요.

그래서, 그럼, 그 저항력을, $f$라고 하면, 비례 정수를 $b$라고 둡니다.

f = - b \frac{dx}{dy}

에서 주어진 운동 방정식은 $b = 2m\gamma$

m \frac{d^2 x}{dt^2} = - kx - 2m\gamma \frac{dx}{dt}

그렇다. 글쎄, $ m $에서,

\frac{d^2 x}{dt^2} = - \omega^2 x - 2 \gamma \frac{dx}{dt} \quad (\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

한다. 앞서처럼,

x(t) = Ae^{\lambda t}

그렇다면 방정식에 대입하면

(\lambda^2 + 2\gamma\lambda + \omega^2)x = 0

을 얻는다. x = 0 이외가 해이기 때문에,

\lambda^2 + 2\gamma\lambda + \omega^2 = 0

를 충족시켜야 합니다. $\lambda$ 에 관한 방정식의 해는, 판별식 $D=\gamma^2 -\omega^2$ 를 사용해,

\lambda = - \gamma \pm \sqrt{D}

같이 주어진다. 이 D의 값은 감쇠 진동, 과감쇠, 임계 감쇠의 3가지로 구분된다.

감쇠 진동 시뮬레이션

Processing으로 썼다.

감쇠 진동

과감쇠

임계 감쇠

계속은 또 이런,

아직도, 강제 진동이나, 2질점계에서의 진동, 다질점에서의 진동, 현의 진동이나, 여러가지 추억하면서 쓰므로 느끼면.

참고

(참고 도서: 스탠다드 역학 카와베 테츠지)