푸리에 변환에 대한 메모

수업에서 배운 것을 정리하는 메모

선형 대수의 복습

1. n차원의 공간은 n개의 기저 벡터로 표현된다.

아래 그림에서, 2차원 평면상의 임의의 점 P$(\vec{r})$는 2개의 기저 벡터 $\vec{a},\vec{b}$의 선형 결합으로 표현된다.
$$\vec{r} = c_1\vec{a} + c_2\vec{b}$$

( htp // 우우 b1. kcg. 에즈/~k_에미/마 th/ぁ/챠 p1/ぁ112. htm )
일반적으로
$$\vec{e_1},\vec{e_2},\cdots,\vec{e_n}$$ 을 기본 벡터로 설정하면,
$$\vec{r} = c_1\vec{e_1} + c_2\vec{e_2} +\cdots + c_n\vec{e_n}$$
여기서 $ $ c_1, c_2,\cdots, c_n $ $는 각 기본 벡터의 "가중치"로 간주 될 수 있습니다.

2. 벡터 내적

2개의 복소 n차원 벡터
$$\vec{a} = (a_1, a_2,\cdots, a_n),\vec{b} = (b_1, b_2,\cdots, b_n)\in\mathbb{C}$$ 의 내적은

\begin{align}
\vec{a}\cdot\vec{b} &= |a|\, |b|\cos\theta \\
      &= a_1b_1^{*} + a_2b_2^{*}+ \cdots+a_nb_n^{*}
\end{align}

특히,
$$\vec{a}\cdot\vec{b} =0\\Leftrightarrow\\vec{a}\perp\vec{b}$$

3. 연속 함수 f(x), g(x)의 내적

연속 함수 $f(x), g(x)$ 의 내적은
$$\int^{\infty}_{-\infty}f(x)\g(x)^{*}\dx$$

4. 정규 직교 기저

기저를 취하는 방법 중, "크기가 1"과 "서로 직교"하고있는 것을 정규 직교 기저라고합니다
예) 데카르트 좌표계

( h tps // 이마긴 g 소치온. 네 t/마 th/오 r의 r마 l_바시 s/ )

위의 그림에서,

e_1 =
\left(
    \begin{array}{c}
      1 \\
      0 \\

    \end{array}
  \right),\ \  e_2 =
\left(
    \begin{array}{c}
      0 \\
      1 \\

    \end{array}
  \right)

는 정규 직교 기저 벡터입니다.

5. 정규 직교 기저에 대한 기저 변환

$$\vec{r} = c_1\vec{e_1} + c_2\vec{e_2}$$
에 있어서, “가중치”$c_1, c_2$는,
$$\vec{r}\cdot\vec{e_1}=c_1\\vec{e_1}\cdot\vec{e_1}+c_2\\vec{e_2}\cdot\vec{e_1} = c_1$$$$\vec{r}\cdot\vec{e_2}=c_1\\vec{e_1}\cdot\vec{e_2}+c_2\\vec{e_2}\cdot\vec{e_2} = c_2$$
에서 요구됩니다.

푸리에 변환이란?

일반 함수 $f(t)$ 에 대해 $f(t)$ 를,
$$”가중치”를 F(\omega), 기저를\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i\omega t}$$
의 무한 차원의 선형 결합으로 나타내면 $$f(t)=\int^{\infty}_{-\infty}F(\omega)\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }} e ^ {i\omega t}\right) ^ {*} d\omega $ $로 표현할 수 있습니다.

이 "가중치"$F(\omega)$를 구하는 조작을 푸리에 변환이라고 한다.

여기서, 상기의 5. 정규 직교 기저에 대한 기저 변환을 이용하면,

$F(\omega)$(가중치)를 구하려면 , $f(t)$ 와 기저의 내적을 취하면 되므로,

\begin{align}
F(\omega) = \int^{\infty}_{-\infty}f(t)\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i\omega t}\right)^{*} dt
\end{align}

이것을 푸리에 변환이라고합니다.

요약

$$ 푸리에 변환: F(\omega) =\int^{\infty}_{-\infty}f(t)\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i\omega t}\right)^{*} dt$$

$$역 푸리에 변환: f(t) =\int^{\infty}_{-\infty}F(\omega)\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i\omega t}\right) d\omega$$