소개

두 행렬의 곱 $ AB = C $를 계산하는 방법을 요약했습니다. 잘 알려진 것은 방법 1의 C 요소에 곱셈을 수행하는 방법이지만 벡터의 선형 결합을 기반으로 한 다른 계산 방법은 선형 대수학의 핵심을 만드는 중요한 방법입니다.

참조: Gilbert Strang Introduction to Linear Algebra Lecture 3

방법 1: A의 행×B의 열

가장 표준적인 방법은 C의 ij 요소 값을 A의 i 행과 B의 j 열의 내적에서 구합니다.

방법 2: A 열의 선형 결합

행렬을 열 벡터 집합으로 간주하고 행렬 및 벡터 연산을 C 열에 적용하는 방법입니다. 선형 방정식 $ Ax = b $를 풀 때 $ Ax $의 곱셈과 유사합니다.


C의 j 열을 A와 B의 j 열의 곱셈으로 계산하는 것을 열 수만큼 반복합니다. 위 예제에서 C의 두 번째 열 값은

\left[
    \begin{array}{rrr}
      -1 & 0 & 3 \\
      0 & -2 & 1 \\
      2 & 2 & -1
    \end{array}
  \right]
\left[
 \begin{array}{r}
1 \\ 3 \\ 0
 \end{array}
\right]
=1\left[
 \begin{array}{r}
-1 \\ 0 \\ 2
 \end{array}
\right] +
3 \left[
 \begin{array}{r}
0 \\ -2 \\ 2
 \end{array}
\right]
+ 0\left[
 \begin{array}{r}
3 \\ 1 \\ -1
 \end{array}
\right]
= \left[
 \begin{array}{r}
-1 \\ -6 \\ 8
 \end{array}
\right]

로 계산할 수 있습니다.이 방법을 사용하면 벡터 묶음으로 처리되는 A를 소스로, 계수로 처리되는 B를 연산자라고합니다.

방법 3: B 행의 선형 결합

방금 열을 기준으로 생각했지만 이제 행을 기준으로 생각하는 방법입니다.이 경우 A는 operator이고 B는 소스입니다.


C의 i 열을 A의 i 열과 B의 곱셈으로 계산하는 것을 행 수만큼 반복합니다. 위의 예에서 C의 첫 번째 열의 값은

\left[
\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & 3
\end{array}
\right]
\left[
    \begin{array}{rrr}
      2 & 1 & 2 \\
      0 & 3 & -1 \\
      1 & 0 & 3
    \end{array}
  \right]=
-1\left[
\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 2
\end{array}
\right]
+0\left[
\begin{array}{rrr}
0 & 3 & -1
\end{array}
\right]
+3\left[
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 3
\end{array}
\right]
=\left[
\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 7
\end{array}
\right]

에서 계산할 수 있습니다 (위의 계산을 작성하는 방법은 공식 행렬을 작성하는 방법이 아닐 수 있습니다).

방법 4: A의 열×B의 행

행렬을 곱할 때 전제로 A의 열 수와 B의 행 수가 일치해야한다는 약속이 있습니다. A의 크기가 $ m\times l $라고 가정하면 B의 크기는 $ l\times n $이어야합니다.
A의 $i$번째 열과 B의 $i$번째 행을 곱하면 $m\times 1$ 행렬과 $1\times n$ 행렬의 곱셈으로 C와 같은 $m\times n$ 행렬이 생깁니다. 하지만 이것을 $l$개 합치면 AB의 곱 C와 일치합니다. 실제로 $2\times 2$ 행렬로 해봅시다.

\left[
\begin{array}{rr}
2 & 1\\ 1 & 3
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{rr}
0 & 1\\ 2 & 3
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{r}
2 \\ 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{rr}
0 & 1
\end{array} 
\right]
+\left[
\begin{array}{r}
1 \\ 3
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{rr}
2 & 3
\end{array} 
\right]
=\left[
\begin{array}{rr}
0 & 2\\ 0 & 1
\end{array}
\right]
+\left[
\begin{array}{rr}
2 & 3\\ 6 & 9
\end{array}
\right]
=\left[
\begin{array}{rr}
2 & 5\\ 6 & 10
\end{array}
\right]

행렬의 $ l $ 행의 더하기가 필요하기 때문에 암산 방향이 아니지만 C는 랭크 한 행렬의 합으로 표시되며 선형 대수학적으로 흥미로울 것입니다.

마지막으로

이번에 소개 한 방법 외에도 행렬의 곱을 계산하는 방법에는 부분 행렬을 사용하는 방법이 있습니다.
행렬의 곱을 계산하는 방법을 조사하는 것은 단순히 계산을 단순화 할뿐만 아니라 선형 대수가 갖는 행렬에 대한 다양한 관점을 배우는 데 도움이 될 것이라고 생각하기 때문에 의외로 깊은 주제라고 생각했습니다. 선형 대수를 공부하기 시작했기 때문에 설명이 잘못되면 점점 지적하십시오. 다른 방법을 알고 있다면 코멘트 란에 쓰면 공부가됩니다.