「양자 계산 이론 양자 컴퓨터의 원리」연습(제4장 1절 & 2절)
「인류가 만들 수 있는 궁극의 계산기는 무엇일까?」
...
현재 가장 정확하다고 여겨지는 물리 이론인 양자론에 기초한 계산기가 그 대답이 된다.
라는 문장으로 시작하기 때문에, 아무것도 응해도 텐션 올라 버립니다
몇 가지 연습 문제가 있으므로 풀어갑니다. 잘못되면 미안 해요
「양자 계산 이론 양자 컴퓨터의 원리」연습(제2장 & 제3장)
「양자 계산 이론 양자 컴퓨터의 원리」연습(제4장 4절) 혼합 상태
4 양자 계산(발전)
4.1 양자 게이트의 예와 양자 회로
파울리 연산자는 다음 특성을 충족하는지 확인하십시오.
$X^2 = Y^2 = Z^2 = I$
\begin{align}
X^2 = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix} \\
Y^2 = \begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix} \\
Z^2 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix} \\
I &=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
$XY = -YX = iZ$
\begin{align}
XY =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
i & 0 \\
0 & -i \\
\end{pmatrix} \\
-YX = -
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
i & 0 \\
0 & -i \\
\end{pmatrix} \\
iZ &=
\begin{pmatrix}
i & 0 \\
0 & -i \\
\end{pmatrix}
\end{align}
$YZ = -ZY = iX$
\begin{align}
YZ =
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
0 & i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix} \\
-ZY =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
0 & i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix} \\
iX &=
\begin{pmatrix}
0 & i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
$ZX = -XZ = iY$
\begin{align}
ZX =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{pmatrix} \\
-XZ = -
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{pmatrix} \\
iY &=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
또, 파울리 연산자의 고유치, 고유 벡터를 구해라.
\begin{align}
X
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\end{pmatrix} &=
1
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\end{pmatrix} \\
X
\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
\end{pmatrix} &=
-1
\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
\end{pmatrix} \\
Y
\begin{pmatrix}
1 \\
i \\
\end{pmatrix} &=
1
\begin{pmatrix}
1 \\
i \\
\end{pmatrix} \\
Y
\begin{pmatrix}
1 \\
-i \\
\end{pmatrix} &=
-1
\begin{pmatrix}
1 \\
-i \\
\end{pmatrix} \\
Z
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\end{pmatrix} &=
1
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\end{pmatrix} \\
Z
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} &=
-1
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
또한 n 양자 비트 파울리 연산자는 곱셈에 대해 그룹을 구성하는지 확인하십시오.
1 양자 비트 파울 연산자가 그룹을 이루면, 그 텐서 곱인 n 양자 비트 파울 연산자도 그룹을 이룬다.
1 양자 비트 파울리 연산자가 그룹임을 다음과 같이 확인할 수 있습니다.
파울리 연산자는 다음 특성을 충족하는지 확인하십시오.
$X^2 = Y^2 = Z^2 = I$
\begin{align}
X^2 = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix} \\
Y^2 = \begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix} \\
Z^2 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix} \\
I &=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
$XY = -YX = iZ$
\begin{align}
XY =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
i & 0 \\
0 & -i \\
\end{pmatrix} \\
-YX = -
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
i & 0 \\
0 & -i \\
\end{pmatrix} \\
iZ &=
\begin{pmatrix}
i & 0 \\
0 & -i \\
\end{pmatrix}
\end{align}
$YZ = -ZY = iX$
\begin{align}
YZ =
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
0 & i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix} \\
-ZY =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
0 & i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix} \\
iX &=
\begin{pmatrix}
0 & i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
$ZX = -XZ = iY$
\begin{align}
ZX =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{pmatrix} \\
-XZ = -
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{pmatrix} \\
iY &=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
또, 파울리 연산자의 고유치, 고유 벡터를 구해라.
\begin{align}
X
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\end{pmatrix} &=
1
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\end{pmatrix} \\
X
\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
\end{pmatrix} &=
-1
\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
\end{pmatrix} \\
Y
\begin{pmatrix}
1 \\
i \\
\end{pmatrix} &=
1
\begin{pmatrix}
1 \\
i \\
\end{pmatrix} \\
Y
\begin{pmatrix}
1 \\
-i \\
\end{pmatrix} &=
-1
\begin{pmatrix}
1 \\
-i \\
\end{pmatrix} \\
Z
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\end{pmatrix} &=
1
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\end{pmatrix} \\
Z
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} &=
-1
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
또한 n 양자 비트 파울리 연산자는 곱셈에 대해 그룹을 구성하는지 확인하십시오.
1 양자 비트 파울 연산자가 그룹을 이루면, 그 텐서 곱인 n 양자 비트 파울 연산자도 그룹을 이룬다.
1 양자 비트 파울리 연산자가 그룹임을 다음과 같이 확인할 수 있습니다.
\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|}
\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}
\newcommand{\bracket}[2]{\left\langle #1 \middle| #2 \right\rangle}
\newcommand{\braccket}[3]{\left\langle #1 \middle| #2 \middle| #3 \right\rangle}
CZ 게이트는 컨트롤과 타겟을 바꿔도 같음을 나타냅니다. 즉,
$\ket{0}\bra{0}\otimes I +\ket{1}\bra{1}\otimes Z = I\otimes\ket{0}\bra{0} + Z\otimes\ket{1 }\bra{1}$
가 성립한다는 것을 보여준다.
\begin{align}
&\ket{0}\bra{0} \otimes I + \ket{1}\bra{1} \otimes Z \\
= \ &\ket{0}\bra{0} \otimes ( \ \ket{0}\bra{0} + \ket{1}\bra{1} \ ) \ + \ \ket{1}\bra{1} \otimes ( \ \ket{0}\bra{0} - \ket{1}\bra{1} \ ) \\
= \ &( \ \ket{0}\bra{0} + \ket{1}\bra{1} \ ) \otimes \ket{0}\bra{0} \ + \ ( \ \ket{0}\bra{0} - \ket{1}\bra{1} \ ) \otimes \ket{1}\bra{1} \\
= \ &I \otimes \ket{0}\bra{0} + Z \otimes \ket{1}\bra{1}
\end{align}
또한 그림 4.1(f)와 같이 CX 게이트를 컨트롤과 타겟을 바꿔 3회 작용시키면 양자 비트를 교환하는 게이트 $\ket{\psi}\otimes\ket{\phi}\rightarrow\ket {\phi}\otimes\ket{\psi}$가 되었음을 나타냅니다.
\begin{align}
( \ &I \otimes \ket{0}\bra{0} + X \otimes \ket{1}\bra{1} \ ) \\
( \ &\ket{0}\bra{0} \otimes I + \ket{1}\bra{1} \otimes X \ ) \\
= \ &( \ I \ket{0}\bra{0} \otimes \ket{0}\bra{0} I \ ) \ + \ ( \ X \ket{0}\bra{0} \otimes \ket{1}\bra{1} I \ ) \ + \ ( \ I \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{0}\bra{0} X \ ) \ + \ ( \ X \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{1}\bra{1} X \ ) \\
= \ &\ket{0}\bra{0} \otimes \ket{0}\bra{0} + \ket{1}\bra{0} \otimes \ket{1}\bra{1} + \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{0}\bra{1} + \ket{0}\bra{1} \otimes \ket{1}\bra{0} \\
\\
( \ &\ket{0}\bra{0} \otimes I + \ket{1}\bra{1} \otimes X \ ) \\
( \ &\ket{0}\bra{0} \otimes \ket{0}\bra{0} + \ket{1}\bra{0} \otimes \ket{1}\bra{1} + \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{0}\bra{1} + \ket{0}\bra{1} \otimes \ket{1}\bra{0} \ ) \\
= \ &\ket{0}\bra{0} \otimes \ket{0}\bra{0} + \ket{1}\bra{0} \otimes \ket{0}\bra{1} + \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{1}\bra{1} + \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{1}\bra{0} \\
= \ &\ket{00}\bra{00} + \ket{10}\bra{01} + \ket{11}\bra{11} + \ket{01}\bra{10}
\end{align}
CCZ 게이트는 그림 4.2의 회로와 등가인지 확인한다.
\begin{align}
( \ &\ket{0}\bra{0} \otimes I \otimes I + \ket{1}\bra{1} \otimes X \otimes I \ ) \\
( \ &\ket{0}\bra{0} \otimes I \otimes I + \ket{1}\bra{1} \otimes I \otimes R_{\pi/2} \ ) \\
= \ &\ket{0}\bra{0} \otimes I \otimes I + \ket{1}\bra{1} \otimes X \otimes R_{\pi/2} \\
\\
( \ &I \otimes \ket{0}\bra{0} \otimes I + I \otimes \ket{1}\bra{1} \otimes R_{\pi/2}^\dagger \ ) \\
( \ &\ket{0}\bra{0} \otimes I \otimes I + \ket{1}\bra{1} \otimes X \otimes R_{\pi/2} \ ) \\
= \ &\ket{0}\bra{0} \otimes \ket{0}\bra{0} \otimes I + \ket{0}\bra{0} \otimes \ket{1}\bra{1} \otimes R_{\pi/2}^\dagger + \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{0}\bra{1} \otimes R_{\pi/2} + \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{1}\bra{0} \otimes R_{\pi/2}^\dagger R_{\pi/2} \\
= \ &\ket{0}\bra{0} \otimes \ket{0}\bra{0} \otimes I + \ket{0}\bra{0} \otimes \ket{1}\bra{1} \otimes R_{\pi/2}^\dagger + \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{0}\bra{1} \otimes R_{\pi/2} + \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{1}\bra{0} \otimes I \\
\\
( \ &\ket{0}\bra{0} \otimes I \otimes I + \ket{1}\bra{1} \otimes X \otimes I \ ) \\
( \ &\ket{0}\bra{0} \otimes \ket{0}\bra{0} \otimes I + \ket{0}\bra{0} \otimes \ket{1}\bra{1} \otimes R_{\pi/2}^\dagger + \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{0}\bra{1} \otimes R_{\pi/2} + \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{1}\bra{0} \otimes I \ ) \\
= \ &\ket{0}\bra{0} \otimes \ket{0}\bra{0} \otimes I + \ket{0}\bra{0} \otimes \ket{1}\bra{1} \otimes R_{\pi/2}^\dagger + \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{1}\bra{1} \otimes R_{\pi/2} + \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{0}\bra{0} \otimes I \\
\\
( \ &I \otimes \ket{0}\bra{0} \otimes I + I \otimes \ket{1}\bra{1} \otimes R_{\pi/2} \ ) \\
( \ &\ket{0}\bra{0} \otimes \ket{0}\bra{0} \otimes I + \ket{0}\bra{0} \otimes \ket{1}\bra{1} \otimes R_{\pi/2}^\dagger + \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{1}\bra{1} \otimes R_{\pi/2} + \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{0}\bra{0} \otimes I \ ) \\
= \ &\ket{0}\bra{0} \otimes \ket{0}\bra{0} \otimes I + \ket{0}\bra{0} \otimes \ket{1}\bra{1} \otimes R_{\pi/2} R_{\pi/2}^\dagger + \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{1}\bra{1} \otimes R_{\pi/2} R_{\pi/2} + \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{0}\bra{0} \otimes I \\
= \ &\ket{0}\bra{0} \otimes \ket{0}\bra{0} \otimes I + \ket{0}\bra{0} \otimes \ket{1}\bra{1} \otimes I + \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{1}\bra{1} \otimes Z + \ket{1}\bra{1} \otimes \ket{0}\bra{0} \otimes I \\
= \ &( \ I \otimes I - \ket{11} \bra{11} \ ) \otimes I + \ket{11} \bra{11} \otimes Z
\end{align}
그림 4.3의 회로에서 최상위 양자 비트를 측정 할 때 0을 얻을 확률은
$\frac{2 +\braccket{\psi}{U}{\psi} +\braccket{\psi}{U^\dagger}{\psi}}{4}$
인 것을 확인하라. 다만, U는 임의의 유니타리 연산자이다. 이러한 회로는 아다마르 테스트(Hadamard test)라고 불리며 자주 사용된다.
\begin{align}
&( \ H \otimes I \ ) \ \ ( \ \ket{0}\bra{0} \otimes I + \ket{1}\bra{1} \otimes U \ ) \ \ ( \ H \otimes I \ ) \ \ ( \ \ket{0} \otimes \ket{\psi} \ ) \\
= \ &( \ H \otimes I \ ) \ \ ( \ \ket{0}\bra{0} \otimes I + \ket{1}\bra{1} \otimes U \ ) \ \ ( \ \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{0} \otimes \ket{\psi} + \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{1} \otimes \ket{\psi} \ ) \\
= \ &( \ H \otimes I \ ) \ \ ( \ \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{0} \otimes \ket{\psi} + \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{1} \otimes U \ket{\psi} \ ) \\
= \ &\frac{1}{2} \ket{0} \otimes \ket{\psi} + \frac{1}{2} \ket{1} \otimes \ket{\psi} + \frac{1}{2} \ket{0} \otimes U \ket{\psi} - \frac{1}{2} \ket{1} \otimes U \ket{\psi} \\
\end{align}
상단 양자 비트를 측정할 때 0을 얻을 확률은
\begin{align}
&( \ \frac{1}{2} \bra{0} \otimes \bra{\psi} + \frac{1}{2} \bra{1} \otimes \bra{\psi} + \frac{1}{2} \bra{0} \otimes \bra{\psi} U^\dagger - \frac{1}{2} \bra{1} \otimes \bra{\psi} U^\dagger \ ) \\
&( \ \ket{0}\bra{0} \otimes I \ ) \\
&( \ \frac{1}{2} \ket{0} \otimes \ket{\psi} + \frac{1}{2} \ket{1} \otimes \ket{\psi} + \frac{1}{2} \ket{0} \otimes U \ket{\psi} - \frac{1}{2} \ket{1} \otimes U \ket{\psi} \ ) \\
= \ &( \ \frac{1}{2} \bra{0} \otimes \bra{\psi} + \frac{1}{2} \bra{0} \otimes \bra{\psi} U^\dagger) \ \
( \ \frac{1}{2} \ket{0} \otimes \ket{\psi} + \frac{1}{2} \ket{0} \otimes U \ket{\psi} \ ) \\
= \ &\frac{1}{4} \bracket{0}{0} \bracket{\psi}{\psi} + \frac{1}{4} \bracket{0}{0} \braccket{\psi}{U^\dagger}{\psi} + \frac{1}{4} \bracket{0}{0} \braccket{\psi}{U}{\psi} + \frac{1}{4} \bracket{0}{0} \braccket{\psi}{U^\dagger U}{\psi} \\
= \ &\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \braccket{\psi}{U^\dagger}{\psi} + \frac{1}{4} \braccket{\psi}{U}{\psi} + \frac{1}{4} \\
= \ &\frac{2 + \braccket{\psi}{U}{\psi} + \braccket{\psi}{U^\dagger}{\psi}}{4}
\end{align}
4.2 범용 양자 게이트 세트
복소 계수 표시에서 $\Lambda(R_{\pi/2})$ 는 실제 계수 표시에서
$T(I\otimes I\otimes H)T(I\otimes I\otimes H)$
를 작용시켜 시뮬레이션 할 수 있음을 보여줍니다.
\begin{align}
\Lambda(R_{\pi/2}) \ket{\phi}
&= ( \ \ket{0} \bra{0} \otimes I \ + \ \ket{1} \bra{1} \otimes ( \ \ket{0} \bra{0} + i \ket{1} \bra{1} \ ) \ ) \ \sum_{z \in \{0, 1\}^2} c_z \ket{z} \\
&= \left( \sum_{z \in \{0, 1\}^2 \setminus \{11\}} c_z \ket{z} \right) + i c_{11} \ket{11} \\
&= \left( \sum_{z \in \{0, 1\}^2 \setminus \{11\}} (\alpha_z + i \beta_z) \ket{z} \right) - \beta_{11} \ket{11} + i \alpha_{11} \ket{11} \\
\end{align}
이것을 실제 계수 표시하면
\left( \sum_{z \in \{0, 1\}^2 \setminus \{11\}} \alpha_z \ket{z} \ket{0} + \beta_z \ket{z} \ket{1} \right) - \beta_{11} \ket{11} \ket{0} + \alpha_{11} \ket{11} \ket{1}
또한,
\begin{align}
T(I \otimes I \otimes H)
&= ( \ ( \ I \otimes I - \ket{11} \bra{11} \ ) \otimes I + \ket{11} \bra{11} \otimes X \ ) \ ( \ I \otimes I \otimes H \ ) \\
&= ( \ I \otimes I - \ket{11} \bra{11} \ ) \otimes H + \ket{11} \bra{11} \otimes X H
\end{align}
따라서,
\begin{align}
T(I \otimes I \otimes H)T(I \otimes I \otimes H)
&= ( \ I \otimes I - \ket{11} \bra{11} \ ) \otimes H H + \ket{11} \bra{11} \otimes X H X H \\
&= ( \ I \otimes I - \ket{11} \bra{11} \ ) \otimes I + \ket{11} \bra{11} \otimes
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
즉,
\begin{align}
&T(I \otimes I \otimes H)T(I \otimes I \otimes H) \ket{\tilde{\phi}} \\
= \ &\left( ( \ I \otimes I - \ket{11} \bra{11} \ ) \otimes I + \ket{11} \bra{11} \otimes
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\right) \left( \sum_{z \in \{0, 1\}^2} \alpha_z \ket{z} \ket{0} + \beta_z \ket{z} \ket{1} \right) \\
= \ &\left( \sum_{z \in \{0, 1\}^2 \setminus \{11\}} \alpha_z \ket{z} \otimes I \ket{0} + \beta_z \ket{z} \otimes I \ket{1} \right) + \left( \sum_{z \in \{11\}} \alpha_z \ket{z} \otimes
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\ket{0} + \beta_z \ket{z} \otimes
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\ket{1} \right) \\
= \ &\left( \sum_{z \in \{0, 1\}^2 \setminus \{11\}} \alpha_z \ket{z} \ket{0} + \beta_z \ket{z} \ket{1} \right) - \beta_{11} \ket{11} \ket{0} + \alpha_{11} \ket{11} \ket{1}
\end{align}
Reference
이 문제에 관하여(「양자 계산 이론 양자 컴퓨터의 원리」연습(제4장 1절 & 2절)), 우리는 이곳에서 더 많은 자료를 발견하고 링크를 클릭하여 보았다
https://qiita.com/piyo7/items/1da8dc1bcfd28a61eed0
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\begin{align}
\Lambda(R_{\pi/2}) \ket{\phi}
&= ( \ \ket{0} \bra{0} \otimes I \ + \ \ket{1} \bra{1} \otimes ( \ \ket{0} \bra{0} + i \ket{1} \bra{1} \ ) \ ) \ \sum_{z \in \{0, 1\}^2} c_z \ket{z} \\
&= \left( \sum_{z \in \{0, 1\}^2 \setminus \{11\}} c_z \ket{z} \right) + i c_{11} \ket{11} \\
&= \left( \sum_{z \in \{0, 1\}^2 \setminus \{11\}} (\alpha_z + i \beta_z) \ket{z} \right) - \beta_{11} \ket{11} + i \alpha_{11} \ket{11} \\
\end{align}
\left( \sum_{z \in \{0, 1\}^2 \setminus \{11\}} \alpha_z \ket{z} \ket{0} + \beta_z \ket{z} \ket{1} \right) - \beta_{11} \ket{11} \ket{0} + \alpha_{11} \ket{11} \ket{1}
\begin{align}
T(I \otimes I \otimes H)
&= ( \ ( \ I \otimes I - \ket{11} \bra{11} \ ) \otimes I + \ket{11} \bra{11} \otimes X \ ) \ ( \ I \otimes I \otimes H \ ) \\
&= ( \ I \otimes I - \ket{11} \bra{11} \ ) \otimes H + \ket{11} \bra{11} \otimes X H
\end{align}
\begin{align}
T(I \otimes I \otimes H)T(I \otimes I \otimes H)
&= ( \ I \otimes I - \ket{11} \bra{11} \ ) \otimes H H + \ket{11} \bra{11} \otimes X H X H \\
&= ( \ I \otimes I - \ket{11} \bra{11} \ ) \otimes I + \ket{11} \bra{11} \otimes
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
\begin{align}
&T(I \otimes I \otimes H)T(I \otimes I \otimes H) \ket{\tilde{\phi}} \\
= \ &\left( ( \ I \otimes I - \ket{11} \bra{11} \ ) \otimes I + \ket{11} \bra{11} \otimes
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\right) \left( \sum_{z \in \{0, 1\}^2} \alpha_z \ket{z} \ket{0} + \beta_z \ket{z} \ket{1} \right) \\
= \ &\left( \sum_{z \in \{0, 1\}^2 \setminus \{11\}} \alpha_z \ket{z} \otimes I \ket{0} + \beta_z \ket{z} \otimes I \ket{1} \right) + \left( \sum_{z \in \{11\}} \alpha_z \ket{z} \otimes
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\ket{0} + \beta_z \ket{z} \otimes
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\ket{1} \right) \\
= \ &\left( \sum_{z \in \{0, 1\}^2 \setminus \{11\}} \alpha_z \ket{z} \ket{0} + \beta_z \ket{z} \ket{1} \right) - \beta_{11} \ket{11} \ket{0} + \alpha_{11} \ket{11} \ket{1}
\end{align}
Reference
이 문제에 관하여(「양자 계산 이론 양자 컴퓨터의 원리」연습(제4장 1절 & 2절)), 우리는 이곳에서 더 많은 자료를 발견하고 링크를 클릭하여 보았다 https://qiita.com/piyo7/items/1da8dc1bcfd28a61eed0텍스트를 자유롭게 공유하거나 복사할 수 있습니다.하지만 이 문서의 URL은 참조 URL로 남겨 두십시오.
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