1. 개요

다섯째 을 바탕으로 계속 학습한다.

본 원고는 제6장에 대한 허위 회귀와 공화점

2. 거짓 귀환

정의

두 개의 무관한 단위 루트 과정 $xt$y정보t=\alpha+\beta x_t+\epsilon_t$회귀 시, $xt$y의미 있어 보이는 현상을 가귀환이라고 한다.

확인

두 개의 독립 프로세스 $\qquadxt=x_{t-1}+\epsilon_{x,t},\quad\epsilon_{x,t}\sim iid(0,\sigma_x^2)$$\qquad y_t=y_{t-1}+\epsilon_{y,t},\quad\epsilon_{y,t}\sim id(0,\sigma y^2)제작 $$\qquadyt=\alpha+\beta x_t+\epsilon_모델로 회귀하다.

# データ生成
sigma_x, sigma_y = 1, 2
T = 10000
xt = np.cumsum(np.random.randn(T) * sigma_x).reshape(-1, 1)
yt = np.cumsum(np.random.randn(T) * sigma_y).reshape(-1, 1)

드로잉은 다음과 같습니다.

먼저 scikit-learn에서 컴백했다.

from sklearn.linear_model import LinearRegression
reg = LinearRegression().fit(xt,yt)
print('R-squared : ',reg.score(xt,yt))
print('coef : ',reg.coef_, 'intercept', reg.intercept_)

R-squared : 0.4794854506874714
coef : [[-0.62353254]] intercept [-24.27600549]

확정 계수($R^2달러)는 0.479로 상당히 높다.회귀모델에 관해서는 $\alpha=-24.28,\quad\beta=-0.6235달러의 형식이 되었다.

$x_t$yt달러가 독립되어 있는지 확인하기 위해 $H0:\beta=0달러 검정하고 싶어요.그러나 scikit-learn은 그렇게 많은 기능을 찾지 못했다.

다른 라이브러리를 찾을 때statsmodels가 편리해 보여서statsmodels로 다시 돌아왔습니다.

import statsmodels.api as sm
reg = sm.OLS(yt,sm.add_constant(xt,prepend=False)).fit()
reg.summary()

Dep. Variable:
y
R-squared:
0.479
Model:
OLS
Adj. R-squared:
0.479
Method:
Least Squares
F-statistic:
9210.
Date:
Tue, 07 Jan 2020
Prob (F-statistic):
0.00
Time:
22:36:57
Log-Likelihood:
-51058.
No. Observations:
10000
AIC:
1.021e+05
Df Residuals:
9998
BIC:
1.021e+05
Df Model:
1
Covariance Type:
nonrobust
coef
std err
t
P>abs(t)
[0.025
0.975]
const
-24.2760
0.930
-26.113
0.000
-26.098
-22.454
x1
-0.6235
0.006
-95.968
0.000
-0.636
-0.611

add_constant은 회귀 모델에 정수 항목이 포함되어 있는지 여부와 관계가 있습니다. (아까 회귀식에서 말한 $\alpha$)add_constant을 진행함으로써 회귀 모델에 정수 항목을 포함합니다.또한 scikit-learn의 경우 fitintercept라는 매개 변수를 False로 설정하면, 정수 항목이 없는 회귀가 됩니다.위에 이걸 명확하게 설명하지 않았어요.True가 기본값이기 때문입니다.

scikit-learn

때와 마찬가지로 확정계수는 0.479달러, $\alpha=-24.28,\quad\beta=-0.6235달러로 같은 회귀가 가능함을 확인했다.

statsmodels의 장점은 95%의 유효 수준치를 제공할 수 있다는 것이다.이거 보시면 $H.0:\beta=0달러, 95%의 의미 수준에서 -0.6이상-0.611이하여야 하므로 $H0달러는 기각될 것이다.거짓 귀환이다.

회피법

모델에 라그 변수 포함

회귀 모델은 다음과 같다.\qquad　y_t=\alpha+\beta_1 x_t+\beta_2 y_{t-1}+\epsilon_t$$y_t$$$$$y 설명 변수{t-1} $이(가) 추가되었습니다.statsmodels를 사용하여 회귀할 때 다음과 같다.sm.OLS는 매개 변수에 설명 변수, 설명 변수를 사용하지만 설명 변수는 다음과 같이 한 배열에 집중되어 전달되어야 한다.

x_t, y_t, y_t_1 = xt[1:], yt[1:], yt[:-1]
X = np.column_stack((x_t, y_t_1))
reg = sm.OLS(y_t,sm.add_constant(X)).fit()
reg.summary()

Dep. Variable:
y
R-squared:
0.999
Model:
OLS
Adj. R-squared:
0.999
Method:
Least Squares
F-statistic:
3.712e+06
Date:
Thu, 09 Jan 2020
Prob (F-statistic):
0.00
Time:
22:12:59
Log-Likelihood:
-21261.
No. Observations:
9999
AIC:
4.253e+04
Df Residuals:
9996
BIC:
4.255e+04
Df Model:
2
Covariance Type:
nonrobust
coef
std err
t
P>abs(t)
[0.025
0.975]
const
-0.0815
0.049
-1.668
0.095
-0.177
0.014
x1
-0.0004
0.000
-0.876
0.381
-0.001
0.000
x2
0.9989
0.001
1964.916
0.000
0.998
1.000

이전 모델에서 $\alpha=-0.0815,\quad\beta1=-0.0004,\quad\beta_2=0.9989달러의 결과를 얻었다\alpha달러 및 $\beta1달러는 거의 0이고 대부분은 달러 y이다{t-1} 달러로 설명할 수 있습니다.상관수는 0.999로 1에 가깝다.또한, $H0 :\beta_1=0달러가 기각되지 않는다는 점도 주목할 만하다.

단위 뿌리 과정의 차이를 취하여 정상 과정 후 회귀하다

회귀 모델은 다음과 같다.\qquad　\Delta y_t=\alpha+\beta\Delta x_t+\epsilon_t$

x_t, y_t = np.diff(xt.flatten()).reshape(-1,1), np.diff(yt.flatten()).reshape(-1,1)
reg = sm.OLS(y_t,sm.add_constant(x_t)).fit()
reg.summary()

Dep. Variable:
y
R-squared:
0.000
Model:
OLS
Adj. R-squared:
0.000
Method:
Least Squares
F-statistic:
3.297
Date:
Thu, 09 Jan 2020
Prob (F-statistic):
0.0694
Time:
22:33:26
Log-Likelihood:
-21262.
No. Observations:
9999
AIC:
4.253e+04
Df Residuals:
9997
BIC:
4.254e+04
Df Model:
1
Covariance Type:
nonrobust
coef
std err
t
P>abs(t)
[0.025
0.975]
const
-0.0138
0.020
-0.681
0.496
-0.054
x1
-0.0374
0.021
-1.816
0.069
-0.078

Dell의 경우 상관수는 0이며 $\beta=-0.0374달러H_0 :\beta_1=0달러도 포기할 수 없음, $\Deltaxt$\Deltay얻은 결론은 무의미한 관계다.

3. 공화분

정의

$x_t$y루트 프로세스($\rmI(1)$) t달러.이때, $axt + b y_t\sim\rm I(0)$처럼 안정적인 $a와 $b가 존재하는 경우 $xt$y공화분과 관계가 있다.또한 $(a,b)'$는 공화분향량이라고 불린다.

더 일반적으로, $t\sim\rm I (1)달러, $\mathba'\mathby 정보t\sim\rm I (0) 달러, $\mathbba$가 있는 경우 $공화분과 관계가 있다.또한 $\mathbba$은 공화 분향량이라고 합니다.

예: ${1t},u_서로 독립된 안정 과정, $w${1t},w_{2t} 달러를 서로 독립된 단위 루트로 하는 과정t =\alpha w_{1t} + u_{1t}\\y_t =\beta w_{1t} + u_{2t}\end{array}\right.$생각해 보아라.이때, $x또한t$\rmI (1)$프로세스, $\qquadxt -\frac{\alpha}{\beta}y_t = u_{1t} -\frac{\alpha}{\beta}u_{2t}\sim\rmI(0)$이므로 $xt$y달러는 공화분 관계가 존재하는데 공화분 벡터는 $(1,-frac {alpha} {beta}) 달러이다.

인상.

$x_t$y단위 루트 프로세스 중 $xt$y장기 예측의 오차가 커졌다.

하지만, $xt$y만약 공화분 관계가 존재한다면,t = y_t - a x_t$$a$를 안정적인 과정으로 만드는 $a$가 존재합니다. 이때 $z일정한 정밀도로 장기 예측을 할 수 있다.

그린 표현의 정리

공화분 관계를 포함하는 VAR 모델은 벡터 오차 수정 모델(VECM)으로 표시할 수 있다.

공화분 시스템(VAR(p) 표시 $\mathbyt달러 정보, $\qquad\begin{align}\Delta\mathbyt &=\zeta_1\Delta\mathbb y_{t-1} +\zeta_2\Delta\mathbb y_{t-2} +\cdots +\zeta_{p-1}\Delta\mathbb y_{t-p+1} +\mathbb\alpha +\zeta_0\Delta\mathbb y_{t-1} +\epsilon_t\\&=\zeta_1\Delta\mathbb y_{t-1} +\zeta_2\Delta\mathbb y_{t-2} +\cdots +\zeta_{p-1}\Delta\mathbb y_{t-p+1} +\mathbb\alpha + -\mathbb B\mathbb A'\mathbb y_{t-1} +\epsilon_VECM(p-1)으로 표현할 수 있습니다.

$-\mathbb B\mathbb A'\mathbb y_{t-1}달러는 오차 수정항이라고 불린다.여기서 $\mathbbA는 공화분 벡터를 나타내고 오차 수정항은 균형이 맞지 않을 때 균형을 회복하는 힘이 작용한다는 것을 나타낸다.