백준(12865)_평범한 배낭

파이썬 12865번

[문제]

이 문제는 아주 평범한 배낭에 관한 문제이다.
한 달 후면 국가의 부름을 받게 되는 준서는 여행을 가려고 한다. 세상과의 단절을 슬퍼하며 최대한 즐기기 위한 여행이기 때문에, 가지고 다닐 배낭 또한 최대한 가치 있게 싸려고 한다.
준서가 여행에 필요하다고 생각하는 N개의 물건이 있다. 각 물건은 무게 W와 가치 V를 가지는데, 해당 물건을 배낭에 넣어서 가면 준서가 V만큼 즐길 수 있다. 아직 행군을 해본 적이 없는 준서는 최대 K만큼의 무게만을 넣을 수 있는 배낭만 들고 다닐 수 있다. 준서가 최대한 즐거운 여행을 하기 위해 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치의 최댓값을 알려주자.

[입력]

첫 줄에 물품의 수 N(1 ≤ N ≤ 100)과 준서가 버틸 수 있는 무게 K(1 ≤ K ≤ 100,000)가 주어진다. 두 번째 줄부터 N개의 줄에 거쳐 각 물건의 무게 W(1 ≤ W ≤ 100,000)와 해당 물건의 가치 V(0 ≤ V ≤ 1,000)가 주어진다. 입력으로 주어지는 모든 수는 정수이다.

[출력]

한 줄에 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치합의 최댓값을 출력한다.

입력예시

4 7
6 13
4 8
3 6
5 12

출력예시

14

[풀이]

이 문제는 상당히 유명한 '배낭 빈틈없이 채우기문제(fractional knapsack problem)'이다. 그 중에서도 item을 조각낼 수 없는 '0-1 배낭 채우기 문제'에 해당한다.
'0-1 배낭 채우기 문제'는 탐욕적으로 해결할 수 없다. 가장 무게가 높은 물건부터 채운다한들 최적해를 보장할 수 없기 때문이다. 아래와 같은 item 목록을 통해 확인할 수 있다. (최대무게 30Kg)

품목	무게	가치
item1	25Kg	10만원
item2	10Kg	9만원
item3	10Kg	9만원

탐욕적 해답 : item1=>25Kg=>10만원
최적 해답 : item2+item3=>20Kg=>18만원

최적해를 동적계획법으로 구하기 위한 점화식을 찾아보자.
n번째 물건은 포함되거나 포함되지 않을 수 있다.
포함한다면, n번째 물건에 해당하는 무게 w를 총 무게 k에서 뺀 k-w에 해당하는 무게를 n-1번째 물건까지의 물건으로 담은 최적해에 n번째 물건의 가치를 더한 총 가치가 최적해인 경우이다.

$v_{n}+d[n-1][k-w_{n}]$

포함하지 않는 경우는, 총 무게 k를 n-1번째 물건까지의 물건으로 담은 최적해에 해당한다.

$d[n-1][k]$

이 둘 중 큰 값에 해당하는 것이 우리가 찾는 최적해다. 따라서 이를 점화식으로 표현하면

$d[n][k]=\begin{cases}max(d[n-1][k],v_{n}+d[n-1][k-w_{n}] & (w_{n} <= k)\\d[n-1][k] & (w_{n} > k)\end{cases}$

점화식을 코드로 작성해주면 된다.

[코드]

import sys
n,k=map(int,sys.stdin.readline().split())
# 가방의 무게와 가치를 저장해줄 2차원 리스트 선언
backpack=[[0,0]]
# n개 물건의 무게와 가치 입력
for _ in range(n):
    backpack.append(list(map(int,sys.stdin.readline().split())))
# DP 테이블 초기화
d=[[0]*(k+1) for _ in range(n+1)]
for i in range(1,n+1):
    for j in range(1,k+1):
        if j<backpack[i][0]:
            d[i][j]=d[i-1][j]
        else:
            d[i][j]=max(d[i-1][j],d[i-1][j-backpack[i][0]]+backpack[i][1])
print(d[n][k])