광학 부립엽 변환의 간단한 도출

이 문장은 열여섯 번째 날의 문장이다.
12월 중순에 갈수록 세밑이 다가왔다고 느꼈다. 나는 동대공학부에서 계수공학을 공부하는 마호8709;태이다.
계수공학은 실제로 각양각색의 영역을 포함하고 있는데, 그 중에서 이번에는 약간 색다른'광학 부립엽 변환'을 소개하고 싶습니다.
이마
광학 부립엽 변환은 빛을 이용하여 부립엽 변환을 계산할 수 있다!이 문장에서 상당히 대략적으로 (번잡한 공식을 사용하지 않고) "왜 빛으로 부립엽 변환을 할 수 있습니까?"의론의 사기 등도 있기 때문에 이 화제를 자세히 알고 싶을 때 광학 교과서를 읽거나 동공대 물공/계수 Advent Calendar 2019를 읽으면 된다.
전제 지식
또 너무 많은 것을 설명하면 초점이 흐리멍덩해지기 때문에 이 기사에서 다음과 같은 것을 아는 사람들을 대상으로 쓰겠습니다.

부립엽 변환(정의식 또는 용도 등)

내 공식 ($e^{i\theta} =\cos\theta+i\sin\theta$)

렌즈의 실상, 허상으로 그림을 그리는 방법

아무거나 책에서 찾아보거나 인터넷에서 검색하면 해설이 나올 것 같아서 모르는 사람은 도서관에 가거나 Google is your teacher해보세요.
공학을 공부하는 사람에게 추천하는 부립엽 변환 사이트는이런
내보내기
광학 부립엽 변환의 간단한 도출은 다음과 같은 실험 시스템을 고려하여 앞의 물체의 진폭 투과율의 공간 분포 $f(x, y)$의 부립엽 변환이 화면에서 상영되는 것을 확인한다.
실험과
다음은 이번에 고려한 광학 부립엽 변환 실험 시스템이다.
남편이 디지털 신호 처리를 배우다
이번 실험은 평면파를 $f(x, y)로 표시된 폭의 투과율 공간 분포를 가진 2차원 물체에 적용하고 렌즈를 통해 초점거리 위치의 화면에 $f(x, y)$의 2차원 부립엽 변환을 $F(X, Y)$로 상영하는 것이다.
$f(x, y)$로 표시된 진폭 투사율 공간 분포를 가진 2차원 물체, 예를 들어'중간에 반경 $r$r의 원형 구멍이 있다'.

f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (x^2 + y^2 \leq r^2) \\
0 & (\mathrm{otherwise})
\end{array}
\right.

라고 표현했다.
내보낸 프로세스
먼저 빛의 복진폭을 도입하여 나중에 계산한 지반을 만들다.
다음에 물체의 진폭 투과율이 $f(x, y)$f(x, y)라고 가정하면 정현폭 투과율의 중첩으로 나타낼 수 있다. 기초로 투과율이 공간주파수 $$(\nux,\nuy)$f(x, y)$f(x, y)의 정현파와 같은 물체를 고려할 수 있다. 물체에 진폭이 고른 평면파가 입사될 때 투사광의 전파 방향을 고려한다. 구체적으로 말하면폭의 투사율을 확인하는 공간 주파수 $(\nux,\nuy) $및 투사 광선의 전파 방향 $(\thetax,\thetay) $1이 해당합니다.
마지막으로 화면의 포인트 $$$$$$$$$$1에 해당하는 전파 방향을 카메라로 확인합니다.
상기 모든 내용을 알고 있습니다. 투사율 $f (x, y) 달러를 분해할 때 공간 주파수 $(\nu x,\nuy) 와 화면의 점 $(X, Y) 달러가 1대 1에 대응하고, 화면의 빛 강도 $I (X, Y) $I (X, Y) 가 이런 형식으로 진폭 투과율의 푸리엽 변환을 관측합니다.
이입복진폭
진폭은 일반적으로 실제 수치를 떠올리지만 앞으로의 논의가 순조롭게 진행되기 위해 진폭을 복수로 확장하는 복진폭을 도입했다.
보통 정현파는...

u(x,y,z,t) = a \cos \left\{\omega t -(k_x x + k_y y + k_z z) + \phi \right\}

가상 허수입니다.

i\ a \sin \left\{\omega t -(k_x x + k_y y + k_z z) + \phi \right\}

덧붙이다

u(x,y,z,t) = \mathcal{Re} \left[ a \exp \left[i \left\{\omega t -(k_x x + k_y y + k_z z) + \phi \right\} \right]\right]

시간에 의존하지 않는 항목

U(x,y,z) = a\ \mathrm{e}^{-i(k_x x+k_y y + k_z z)+\phi}

복진폭이라고 하는데, 복진폭은 진폭과 초기 위상을 동시에 나타내는 양이다.
정현폭 투사율과 투사광의 전파 방향

진폭 투과율

f(x,y,z) = \mathrm{e}^{-i2\pi (\nu _x x + \nu_y y)}

진폭 1의 고른 평면파를 물질에 입사하면 이때 투사광의 복진폭은

U(x,y,z) = \mathrm{e}^{-i(k_x x+k_y y+k_z z)}

아래 그림에 근거하여

\vec{n_x} \cdot \vec{k} = 1 \cdot k \cdot \cos(\frac{\pi}{2} - \theta_x)\\
\mbox{（ただし，}\vec{k}=(k_x,k_y,k_z)^{\rm{T}},\ k=|\vec{k}|,\ \vec{n_x} \mbox{はx軸方向の単位ベクトル)}

이 두 방면에 관하여 우리는 헤어질 수 있다

(左辺) = k_x,\ (右辺) = k \sin \theta_x

성립으로 인해

\theta_x = \sin^{-1} \frac{k_x}{k}

그런 거 알아요.

같은 의론에서

\theta_y = \sin ^{-1} \frac{k_y}{k}

이런 상황에서 방금 물체를 꿰뚫은 투사광의 복진폭은 물체의 진폭 투사율($U(x, y, 0)=f(x, y)$)과 같다.

\left\{
\begin{array}{ll}
k_x &= 2\pi \nu_x \\
k_y &= 2\pi \nu_y
\end{array}
\right.

이 공식으로 위에서 구한 전파 방향의 공식을 대입하다

\left\{
\begin{array}{ll}
\theta_x &= \sin^{-1} \lambda \nu_x \\
\theta_y &= \sin^{-1} \lambda \nu_y
\end{array}
\right.

이끌리다
공간 빈도는 $\nux,\nu_진폭 1의 고른 평면파를 정현폭의 투사율을 가진 물체에 입사할 때 투사광의 전파 방향은 $$(\thetax,\thetay)가 유일하다
그런 뜻이야.
렌즈 작용
위에서 말한 바와 같이 투사광의 전파 방향은 상응하는 정현 투사율의 공간 주파수에 의해 결정된다. 즉, 각 전파 방향의 (실수의) 폭을 알면 물체의 진폭 투사율의 부립엽 변환을 알 수 있다.입사광과 마찬가지로 투사광도 평면파로 각도가 조금 다른 곳에서 투사광이 서로 중첩되어 각 전파 방향의 진폭을 꺼내기 위해서는 무한히 먼 곳에서 관측해야 한다.
이 문제를 해결하는 것은 렌즈다. 볼록렌즈는 평행광선을 초점 위치로 집중시키는 작용을 한다. 즉, 초점거리까지 무한히 멀리 유지하는 것이다. 아래의 그림을 통해 알 수 있듯이 렌즈를 통과하기 전에는 평행광(평면파)의 투사광이었다.초점 거리의 각도에 대응하는 위치가 집광됩니다. 그러면 투사광의 전파 방향 $(\theta x,\thetay) 과 초점 거리의 화면의 점 $(X, Y) 달러는 1대1에 대응합니다.

결론
이상의 토론에서 물체의 진폭 투사율이 정현파에 의해 분해될 때의 공간 주파수 $\nux,\nu_Y$와 화면의 점 $(X, Y)달러가 1대1에 대응하는 것을 알 수 있다. 즉, 화면의 광강도 $I(X, Y)\propto|F(\rac{x}{lambdaf},\rac{y}{lambdaf})|^2달러를 관측하면 부립엽 변환을 계산할 수 있다!그러니까
후기
이번에는 상당히 대략적으로 광학 부립엽 변환을 정성적으로 도출했다. 이 이야기를 더 알고 싶은 사람은 훌라후라연사 등 키워드로 광학 교과서를 찾아보자.도쿄대 학생이라면 물리공학과 3A 과목의'광학'과 계수공학과 3A 과목의'회로학 2등'을 들어보는 것이 좋다.
동대공학부의 물리공학과, 계수공학과가 도쿄대학교 오월제에서'공학박람회'라는 학술전시기획을 진행한다. 그곳에서도 이번 빛과 관련된 흥미로운 전시가 예정돼 있으니 관심 있는 분들은 꼭 오세요!
참고 문헌
곡전순(자연계산 시리즈 제1권)p.40-43