소개

Fano 효력은 1961년 Ugo Fano에 의해 이론적으로 지도되었다. 임의의 시상태에서 종상태로 이동할 때 연속적인 준위와 이산적인 준위를 통과하는 과정이 있을 때 이들이 간섭하는 것으로 특징적인 스펙트럼이 나타나는 현상을 Fano 효과라고 한다. Fano 효과는 라만 산란, 광전자 방출, 원자의 광전리, 광흡수, 중성자 산란, 양자점, 금속 표면에서의 콘도 효과 등 분광학에서는 유명한 현상이다.

Fano 공식

Fano 효과에서의 양자 간섭은 다음 식으로 표현된다. 제1항은 연속 준위, 제2항은 이산 준위, 제3항은 그 간섭항이다.

H = E_{\phi}\left|\phi\right>\left<\phi\right|+\sum_{E'}{E'\left|\psi_{E'}\right>\left<\psi_{E'}\right|}+\sum_{E'}{\left(V_{E'}\left|\psi_{E'}\right>\left<\phi\right|+V_{E'}^{*}\left|\phi\right>\left<\psi_{E'}\right|\right)}

이 해밀턴에 대해 스펙트럼은 다음과 같이 주어진다.

\frac{(\varepsilon+q)^{2}}{\varepsilon^{2}+1}

이 공식은 Fano 공식이라고 불린다. $\varepsilon=(E-E_{0})/\Gamma$는 에너지이고 $E_{0}$ 및 $\Gamma$는 공명 레벨 위치와 그것의 일생이다. $q$는 Fano 파라미터 또는 비대칭 파라미터라고 불리며, 연속 준위와 공명 준위의 커플링 정도를 나타낸다.

수식 시각화

Fano 공식을 시각화합니다. 이번에는 3차원 플롯을 하기 위해 Axes3D를 가져왔습니다. 프로그램은 다음을 실행하면 할 수 있어야 합니다. 매개변수는 정확하게 적용되므로 필요에 따라 다시 작성하십시오.

fano.py

import pylab
from matplotlib import pyplot
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D


step = 500
p = [[0.00 for i in range(step)] for j in range(step)]
e = [[0.00 for i in range(step)] for j in range(step)]
q =　　[[0.00 for i in range(step)] for j in range(step)]

for i in range(step):
    for j in range(step):
        e[j][i] =(i-250)/10
        q[j][i] = j*0.05

for i in range(step):
    for j in range(step):
        p[j][i] = (e[j][i]+q[j][i])*(e[j][i]+q[j][i])/(e[j][i]*e[j][i]+1)

fig = pylab.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.set_xlabel("Energy")
ax.set_ylabel("Fano parameter")
ax.set_zlabel("dI/dV")
for j in range(40):
   ax.plot(e[:][j],q[:][j],p[:][j],'b')
pyplot.show()

3차원 플롯은 다음 그림과 같습니다. 다양한 Fano 매개 변수에 곡선을 작성합니다. Fano 공식이나 그림에서 알 수 있듯이 $q=0$일 때는 반공명적인 스펙트럼이 됩니다. 한편 $q\rightarrow\infty$에서는 Breit-Wigenr형의 스펙트럼과 일치합니다.


가장 스펙트럼의 비대칭성이 현저해지는 것은 $q=1$일 때 다음 그림과 같이 된다.