표준 정규 분포의 확률 밀도 함수의 적분 검증

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{(2\pi)}}e^{-x^2/2} dx = 1$
을 확인합니다.

R로 좌변을 계산해 본다

적분 범위는 ($-\infty$에서 $\infty$로 취하는 것은 불가능하므로 대신) $-100$에서 $+100$로 계산해 보겠습니다.

#被積分関数の定義
s <- function(x){
exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi)
}
#積分の実行
integrate(s, lower = -100, upper = 100)

출력 결과는

1 with absolute error < 3.2e-07

됩니다. 적분 결과는 $1$이고 계산 오차는 $3.2\times 10^{-7}$라는 결과입니다.
적분 범위는 적절하게 차단되었지만 검산의 의미로는 충분할 것입니다. $|x|>100$의 영역에서 이 확률 밀도는 거의 0이 된다는 것입니다.

아래는 런타임 스쿠쇼.

손 계산으로 검증하기

우선 다음의 정적분 $I$를 준비합니다.
$$I=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$$
$I$를 제곱하고 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$로 바꿉니다. $dxdy=rdrd\theta$에서
$$I^2 =\int_{-\infty}^\infty dx\int_{-\infty}^\infty dy e^{-(x^2+y^2)}=\int_0^\infty dr re ^{-r^2}\int_0^{2\pi}d\theta=\pi$$
이제 $I=\sqrt{\pi}$를 표시할 수 있습니다. $I$의 적분으로 $x\to x/\sqrt{2}$로 바꾸면 제목의 적분을 나타낼 수 있습니다.
보다 자세한 것은 「가우스 적분」으로 검색해 봅시다.