【수리 고고학】군론과 시뮬레이션 원리 ①지금까지의 투고 내용의 정리.
놀라울 정도로 엉망진창이 되어 버렸기 때문에 정리를 시도합니다.

가우스의 순회군(Gauss Cyclic Group)

「정 n각형의 작도로부터 나침반과 통치자를 추방했다」라고 말해지는, 컴퓨터 그래픽사상 가장 중요한 연산 결과 집합의 하나. 군론에 있어서는, 이 연산이야말로 「반경 1의 단위원」을 관측 결과 집합으로 하는 원주군=리군 $S_0$=1차원 토러스의 생성자(초기화 정의)로 지정되어 있습니다.
1의 뿌리 - Wikipedia

1의 모든 뿌리는 복소수 평면에서 단위 원주에 있습니다. 또한 개요에서 언급한 것보다, 1의 n승근의 전체는 위수 n의 순회군이다. 이것은 원주 그룹의 정규 부분 그룹입니다.

1의 n제곱근은 복소수 평면에서 단위원에 내접하는 양의 n각형의 정점이다.

대수학적 배경은 이런 느낌.
【수리 고고학】대수 방정식에 대해.

수학에 있어서 공식(Fomura)이란 많은 경우 항등식(Identity)을 의미하지만, 그 정의는 「어떠한 값을 대입해도 양변이 같아지는」식이다.

이에 대해 "특정 값이 아니면 통합이 성립하지 않는 식"을 방정식(Equatation)이라고 부르고, 그 값을 뿌리(Root) 혹은 해(Solution)라고 한다.

미지수 x를 포함한 방정식(Formula) f(x)=0에는 다양한 형식이 있으며, 이 중 대수적 연산(Algebraic operations, 가감산, 승제산, 근근)을 유한회 이용하여 나타낼 수 있는 것을 대수 방정식( Algebraic Formula)라고 한다.

대수학자 가우스(C.F.Gauss, 1777년~1855년)는 “n차대수방정식은 n개의 뿌리를 복소수의 범위에 가짐”을 증명했다. 이것은 대수학의 기본 정리라고 불린다(단, 4차 이상의 방정식의 해는 대수적으로는 요구되지 않는다).

① 「가우스의 순회군」을 도시화한 정 n각형에는 흥미로운 특징이 있다. 이것을 원래 g로 하여 역원 $g^{−1}$를 구하면 차수가 2n+1(홀수)의 경우 중첩되지 않고, 배의 차수 2(2n+1)(짝수)로 처음 통합되므로 있다. 【Python 연산 처리】 단위 토러스를 둘러싼 수리 ② 토러스군의 설정 이하의 계산 결과도, 이 수리와 밀접한 관계에 있다. cos(π)=-1\\cos(\frac{π}{2})=0\\cos(\frac{π}{3})=\frac{1}{2}\\cos(\frac {π}{5})+cos(\frac{3π}{5})=\frac{1}{2}\\cos(\frac{π}{7})+cos(\frac{3π}{ 7})+cos(\frac{5π}{7})=\frac{1}{2}\\cos(\frac{π}{9})+cos(\frac{3π}{9})+ cos(\frac{5π}{9})+cos(\frac{7π}{9})=\frac{1}{2}\\cos(\frac{π}{11})+cos(\frac {3π}{11})+cos(\frac{5π}{11})+cos(\frac{7π}{11})+cos(\frac{9π}{11})=\frac{1}{ 2} 요컨대 자연수 집합(Natural Set)$\mathbb{N}$에 단위원(Identity Element)0과 역원(Inverse Element)$\mathbb{N}^{-1}$를 더해 정수군(Integer Set)에 발전시킬 때, 가우스의 순회군의 원과 역원은 반경 1의 단위원상에 걸리는 한 쌍의 홀수 도형을 계속 그리므로, 그 정점의 코사인치의 합계도 각각 $\frac{1}{2}$ 계속되는 것이다. 최종적으로 정 n각형의 n이 ∞에 도달하면 $\frac{∞}{2}=∞$가 성립하여 걸리는 반감은 의식되지 않게 되지만, 이것이 바로 공액 개념(Conjugated Concept)의 출발 지점 라고 할 수 있다. 위상이 등차수 열인 삼각 함수의 합의 공식

이하의 수리는 또한 이러한 전체 이미지의 일부로 추찰된다.
【수리 고고학】 어떤 원주율에의 도전?
【수리 고고학】 해석학사에 「허수 개념」을 가져온 교대 급수
라이프니츠 급수(Leibniz series, 1674년, 그레고리 급수가 x=1인 경우)

\sum_{n}^{\infty}\frac{-1^n}{2n+1}=\frac{π}{4}

그레고리 급수(Gregory series, 1671년)

\sum_{n}^{\infty}\frac{-1^n}{2n+1}x^{2n+1}=\frac{π}{4}

그건 그렇고

\sin(π)=0\\
\sin(\frac{π}{2})=1\\
\sin(\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}(0.8660254)\\
\sin(\frac{π}{5})+\sin(\frac{3π}{5})=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}(1.538842)

> round(sin(pi),digits=8)
[1] 0
> round(sin(pi/2),digits=8)
[1] 1
> round(sin(pi/3),digits=8)
[1] 0.8660254
> sqrt(3)/2
[1] 0.8660254
> round(sin(pi/5)+sin((3*pi)/5),digits=8)
[1] 1.538842
> sqrt(5+2*sqrt(5))/2
[1] 1.538842
> round(sin(pi/7)+sin((3*pi)/7)+sin((5*pi)/7),digits=8)
[1] 2.190643
#現時点の私にはこの数値解に該当する式が見つけられない!!
>round(sin(pi/9)+sin((3*pi)/9)+sin((5*pi)/9)+sin((7*pi)/9),digits=8)
[1] 2.835641
#現時点の私にはこの数値解に該当する式が見つけられない!!
> round(sin(pi/11)+sin((3*pi)/11)+sin((5*pi)/11)+sin((7*pi)/11)+sin((9*pi)/11),digits=8)
[1] 3.477576
#現時点の私にはこの数値解に該当する式が見つけられない!!

이 계산에 어떤 의미가 있는지 현재의 나에게는 모른다.

② 복소수 개념의 도입이 불가피하게 되는 것은 3차 방정식 이상이 된다.
【수리고고학】삼차방정식에서 허수로.

기하학적으로는 삼각 부등식(Triangle Inequality)$‖x+y‖\leqq ‖x‖+‖y‖$가 성립해 면적의 개념이 생기는 「원주상의 3점 이상의 조작」에 대응? 그리고 다행히도 4점까지의 조작이라면 「타레스의 정리」에 의해 직각의 개념을 사용할 수 있는 것이다.
【초보자용】 「삼각 부등식의 체감 방법?


이런 수학적 배경 등 몰라도 (대수학적 방법으로는 구할 수 없는 n차 방정식을 수치적으로 도출한다) 이하의 계산 방법에 익숙한 사람이라면 적지 않을 것입니다.

2π를 각수 n+1로 나눈 집합 θ를 만든다.

각각의 Cos(θ)를 구해 X축에 놓고 Sin(θ)을 구해 Y축에 둔다.

군론상의 표현에서는 다음과 같이 되는 것 같습니다.
그룹과 표현 이야기

무한한 경우는 $\mathbb{Z}$.

유한한 경우를 가법적으로 표현하면 $\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}=(0,1,…,n-1)$

승법적으로 표현하면 $ C_n = (e ^ {\frac {kπi} {n}} | 0\leqq k\leqq n-1) $

그리고 이 연산군을 도입하면 다음과 같은 계산도 가능해집니다.
【초보자용】 끼워넣어 정리에 의한 원주율π의 근사
한 변의 길이가 a의 양의 n각형에 외접하는 원의 반경 r $r=\frac{a}{2\tan(\frac{π}{n})}$ $a=r(2\tan(\frac{π}{n}))$ 한 변의 길이가 A의 양의 n각형에 내접하는 원의 반경 R $R=\frac{A}{2\tan(\frac{π}{n})cos(\frac{π}{n})}$ $A=R(2\tan(\frac{π}{n})cos(\frac{π}{n}))$ 한 변의 길이가 a인 정n각형의 외접원의 반경과 내접원의 반경의 관계 $r=Rcos(\frac{π}{n})$ $R=\frac{r}{cos(\frac{π}{n})}$ 외접원을 단위원(Unit Circle)으로 한 것이 상기 애니메이션. 외접원의 반경 R은 단위원의 정의에 따라 1 이것에 내접하는 정다변형의 한 변의 길이 A는 $2\tan(\frac{π}{변수})\cos(\frac{π}{변수})$ 외접원에 내접하는 정다변형의 내접원의 반경 r은 $\cos(\frac{π}{변수})$ 이 연산의 극한에는 반경 1의 단위원의 경우에 있어서의 원주 길이로서 2π가 나타납니다. 반경 r의 경우에 일반화하면 산수 단계에서 배운 2πr이 되네요. 그런 느낌으로 이하 속보…