유한원법 개론

1980년에 발간된 고서이기도 하다.sasasaburo씨의 소개를 받아 읽어 보았습니다.구체적인 탄성체력학을 처리하는'유한원법 입문'과 반대로 유한원법은 추상적인 수학을 이용하여 일반 미분방정식을 풀 수 있는 방법으로 설명했다.이것은 유한원 방법으로 각종 물리 현상을 해결할 수 있다.이 책은 대학에서 공부하는 해석학과 선형 대수의 지식을 전제로'유한요소법 입문'에 비해 문턱이 조금 높을 수 있다.
조리가 뚜렷하고 정련되어 낭비가 없다.따라서 밀도가 높아 쪽수에 비해 내용이 짙다.그야말로 훌륭한 교과서 같은 좋은 책이다.
개요
나는 이 책의 시작 문턱이 매우 높다고 생각한다.처음부터 다차원 광의poisson 방정식의 경계값 문제가 나타났다.그렇게 어려운 말을 한 것은 아니지만 유한요소법에서 구체적인 인상에 대한 추상적 입법은 곤혹스러울 수 있다.이어 약형태와 변분 원리가 등장했다.물리 문제에서 말하는 가상 작업의 원리와 최소 작용의 원리는 일반화된 것이다.이것은 유한원법의 기초적인 중요한 개념이지만, 나에게는 이 점을 가장 이해하기 어렵다.나는 최초의 30페이지 정도가 이 책의 하이라이트라고 생각한다.역설적으로 여기를 충분히 이해하면 이후에는 그렇게 어려운 개념이 나오지 않을 것이다.
다음은 리츠 갤러킨법의 설명이다.이것은 약한 형식과 변분 원리로 표시된 선형 미분 방정식을 근사하게 구하는 방법이다.이를 위해, 해함수는 적당한 기함수조의 합으로 표시한다.어쨌든 Taylor의 전개와 Fourier의 전개를 일반화했다.연립 방정식으로 각 기함수의 가중 계수가 만족하는 방정식을 표시하고 이 방정식을 풀면 원래의 미분 방정식의 해를 얻을 수 있다.연립 방정식은 행렬로 표시되는데, 컴퓨터로 기계적으로 풀 수 있기 때문에 이런 방법은 컴퓨터와 매우 잘 어울린다.

다음은 유한원법의 해설이다.한마디로 유한원법은 리츠 글러킨법의 일종이다.가장 간단한 것은 간단한 산형 함수를 기본 함수로 사용하는 것이다.결과적으로 이것은 접선도로 미분방정식과 비슷한 해라고 할 수 있다.만약 이런 방법이라면 유한한'요소'에 관한 몇 개의 행렬을 만들 수 있다. 이 행렬은 1차원, 2차원, 3차원 등 계산하고자 하는 구역을 적당히 분리한 구역이며, 매우 기계적인 방법으로 이 행렬을 조합한 행렬을 구해낼 수 있다.

다음은 미분방정식 변화, 차원 증가, 기함수의 순서 증가, 요소의 형식 변화에 대한 설명이다.그러나 형식만 복잡할 뿐 기본적인 생각은 달라지지 않았다.처음에 기초를 넘으면 대부분의 문제가 똑같이 적용될 수 있다.이것은 추상화된 수학의 하이라이트다.
이 책의 특징
이 책은 지난번 유한요소법 입문과 같은 입문서였지만 전혀 다른 방법이 재미있다.이 책은 물리실에서 문턱이 좀 높지만 수학을 잘하는 사람에게는 쉽게 들어갈 수 있을 것이다.
그리고 연습 문제도 균형이 잘 맞아서 좋아요.어느 정도 자기 손으로 계산함으로써 이해를 깊이 있게 하다.이걸 읽는 사람은 꼭 다 풀어줬으면 좋겠어요.
여기서 처리하는 문제는 간단한 예이지만 생각은 광범위하게 응용할 수 있고 통용성이 있다.시간이 없는 2층 선형 미분방정식의 3차원 해석 프로그램이라면 무엇이든 할 수 있다.그러나 계산보다 입력과 디스플레이를 실현하는 것이 더 번거로울 수 있다.
유한원법 프로그램을 개량해 보았다
이 책에서 새로 배운 것은 아니지만 지난번에 제작한 2차원 탄력적 해석 프로그램을 조금 바꿔 GUI가 직접 만든 망상물을 읽어봤다.유한원법의 장점은 이런 불규칙하고 자유로운 형상에 간단하게 대응할 수 있다는 것이다.


코드가 GiitHub에 놓여 있습니다.
https://github.com/MhageGH/FEM-exmaple