그래프 알고리즘 - 신장 트리 , 위상 정렬

신장트리

• 그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미.

• 주로 최소 비용으로 구선되는 신장 트리를 찾아야 할 때 사용함.

• 예를 들어 N 개의 도시에서 최소한의 비용의 도로로 전체 도시를 연결하려고 할때!
  

크루스칼 알고리즘

• 최소 신장 트리 알고리즘에 가장 대표적인 알고리즘.

• 동작 과정

  • 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬
  • 현재 간선이 사이클을 발생시키는지 확인 ( find 함수로 확인 )
    • 발생하지 않으면 최소 신장 트리에 포함 ( union 함수 사용 )
    • 발생하면 포함 X
  • 모든 간선에 대하 위 과정을 반복

# 최소한의 비용으로 ~~ 전체를 연결~~~~
# N 개의 도시에서 최소한의 비용의 도로로 전체 도시를 연결하려고 할때

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬 (튜플의 경우 젤 처음 원소를 기준으로 정렬함)
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

위상 정렬.

• 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것.

• 예를 들어, 게임의 스킬트리, 순서가 있는 과목 수업을 고려한 학습 순서 설정
  

• 위 세 과목을 모두 듣기 위한 학습 순서는? A. 자료구조 👉 알고리즘 👉 고급 알고리즘

• but 진입 차수가 한 단계에 2개 이상이면 여러 가지 답 존재.

• 모든 원소 방문 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재 한다고 판단.

진입 차수와 진출 차수

• 진입 차수: 노드로 들어오는 간선의 개수

• 진출 차수: 노드에서 나가는 간선의 개수

• 이를 기반으로 위상 정렬 알고리즘은 큐를 이용한 동작을 한다.

• 동작 과정

  • 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣음

  • 큐가 빌때 까지 반복

    • 큐에서 꺼낸 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거.
    • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣음.

👉 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과임.

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()