[알고리즘] 유니온 파인드

유니온 파인드 = 서로소 집합 자료구조 = 합치기 찾기 자료구조

: 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조

유니온(합집합) : 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
파인드(찾기) : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 연산인지 알려주는 연산

[동작 과정]

1. 유니온(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A,B를 확인한다.
   1) A와 B의 루트 노드 A',B'를 각각 찾는다
   2) A'를 B'의 부모 노드로 설정한다
2. 모든 유니온(합집합) 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복한다

처리할 연산들 : Union(1,4), Union(2,3), Union(2,4), Union(5,6)

1. 노드의 개수 크기의 부모 테이블을 초기화한다
   
   (1) 노드 1과 노드 4의 루트 노드를 각각 찾는다. 현재 루트 노드는 각각 1과 4 이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 4의 부모를 1로 설정한다.
   
   (2) Union(2,3)
   
   (3) Union(2,4) : 노드 2와 노드 4의 루트 노드를 찾는다. 각각 2와 1이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 2의 부모를 1로 설정한다.
   
   (4) Union(5,6)
   

[연결성]

두 개로 나뉘어짐!!

• 루트 노드에 즉시 접근 X -> 루트 노드를 찾기 위해 부모 테이블을 계속해서 확인하며 거슬러 올라가야함

[구현]

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')
 

[경로 압축]

: find 함수를 재귀적으로 호출한 후에 부모 테이블 값을 바로 갱신한다.

# 특정한 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    

-> 시간 복잡도 개선

사이클 판별

1. 서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다.
2. 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있다.

[사이클 판별 알고리즘]

1. 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
   1) 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 유니온 연산을 수행한다.
   2) 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것!
2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복