알고리즘 :: 백준 :: DP :: 9465 :: 스티커

문제

문제 링크

상근이의 여동생 상냥이는 문방구에서 스티커 2n개를 구매했다. 스티커는 그림 (a)와 같이 2행 n열로 배치되어 있다. 상냥이는 스티커를 이용해 책상을 꾸미려고 한다.

상냥이가 구매한 스티커의 품질은 매우 좋지 않다. 스티커 한 장을 떼면, 그 스티커와 변을 공유하는 스티커는 모두 찢어져서 사용할 수 없게 된다. 즉, 뗀 스티커의 왼쪽, 오른쪽, 위, 아래에 있는 스티커는 사용할 수 없게 된다.

모든 스티커를 붙일 수 없게된 상냥이는 각 스티커에 점수를 매기고, 점수의 합이 최대가 되게 스티커를 떼어내려고 한다. 먼저, 그림 (b)와 같이 각 스티커에 점수를 매겼다. 상냥이가 뗄 수 있는 스티커의 점수의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오. 즉, 2n개의 스티커 중에서 점수의 합이 최대가 되면서 서로 변을 공유 하지 않는 스티커 집합을 구해야 한다.

위의 그림의 경우에 점수가 50, 50, 100, 60인 스티커를 고르면, 점수는 260이 되고 이 것이 최대 점수이다. 가장 높은 점수를 가지는 두 스티커 (100과 70)은 변을 공유하기 때문에, 동시에 뗄 수 없다.

문제접근

• n의 범위가 10만까지이므로 $O(n)$ 알고리즘 내로 풀어야 한다.
• n까지의 모든 경우의 수를 탐색하기에는 (bruteforce) 너무 시간이 많이 소요되리라 예상되므로 이 문제는 DP로 접근해야 함을 유추할 수 있다.
• 우리는 임의의 n번째 열에 대해 다음과 같은 선택을 할 수 있다.
  • n번째 열의 스티커를 떼지 않는다.
    • 이때 n - 1번째 열은 행동이 자유롭다.
  • n번째 열의 윗쪽 스티커를 뗀다.
    • 이때 n - 1번째 열은 스티커를 떼지 않거나 아랫쪽 스티커를 뗀다.
  • n번째 열의 아랫쪽 스티커를 뗀다.
    • 이때 n - 1번째 열은 스티커를 떼지 않거나 윗쪽 스티커를 뗀다.
• 점화식을 세우면 다음과 같다.
  • $D(n)(0)=max(D(n-1)(1), D(n-1)(2))$
  • $D(n)(1)=max(D(n-1)(0), D(n-1)(2))$
  • $D(n)(2)=max(D(n-1)(0), D(n-1)(1))$
  • $Answer = max(D(n)(0), D(n)(1), D(n)(2))$

코드

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

int T, N, a[2][100000], dp[100000][3];

int solve(int n, int m) {
	if (n < 0) return 0;
	if (dp[n][m] >= 0) return dp[n][m];
	if (m == 0) return dp[n][0] = max(solve(n - 1, 1), solve(n - 1, 2));
	if (m == 1) return dp[n][1] = max(solve(n - 1, 0), solve(n - 1, 2)) + a[0][n];
	return dp[n][2] = max(solve(n - 1, 0), solve(n - 1, 1)) + a[1][n];
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);
	cin >> T;
	while (T--) {
		memset(dp, -1, sizeof(dp));
        	memset(a, -1, sizeof(a));
		cin >> N;
		for (int i = 0; i < 2; ++i)
			for (int j = 0; j < N; ++j) cin >> a[i][j];
		dp[0][0] = 0, dp[0][1] = a[0][0], dp[0][2] = a[1][0];
		cout << max(max(solve(N, 0), solve(N, 1)), solve(N, 2)) << '\n';
	}
}

또는, forwading으로 풀거나

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

int T, n, a[2][100001], dp[100001][3];

int solve() {
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		dp[i][0] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]);
		dp[i][1] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) + a[0][i];
		dp[i][2] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]) + a[1][i];
	}
	return max(max(dp[n][0], dp[n][1]), dp[n][2]);
}	
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);
	cin >> T;
	while(T--) {
		cin >> n;
		memset(a, 0, sizeof(a));
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		for(int i = 0; i < 2; ++i)
			for (int j = 1; j <= n; ++j) cin >> a[i][j];
		cout << solve() << '\n';
	}
}

결과