[알고리즘] 최소 신장 트리
최소 신장 트리 알고리즘
- 신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘
신장 트리 (Spanning Tree)
- 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프
- 간선의 개수 = 노드의 개수 - 1
크루스칼
- 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘
- 가장 적은 비용으로 모든 노드를 연결할 수 있음
- 그리디 알고리즘으로 분류됨
- 가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로 집합에 추가하면 된다.
❗다만, 사이클을 발생시키는 간선은 제외하고 연결한다!
동작 과정
- 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬
- 간선을 하나씩 확인하면 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인
- 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
- 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
- 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.
구현
🕰 시간복잡도 : O(ElogE)
- 간선의 개수 E개
- Python 코드
# 특정 원소가 속합 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a<b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1)
# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result =0
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i] = i
# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
a, b, cost = map(int, input().split())
# 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 산정
edges.append((cost, a, b))
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
cost, a, b =edge
# 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a, b)
result+=cost
print(result)프림
- 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘
- 시작 정점을 선택한 후, 정점에서 인접한 간선 중 최소 간선으로 연결된 정점을 선택하고, 해당 정점에서 다시 최소 간선으로 연결된 정점을 선택하는 방식으로 최소 신장 트리를 확장해나가는 방식
동작 과정
- 임의의 정점을 선택, '연결된 노드 집합'에 삽입
- 선택된 정점에 연결된 간선들을 간선 리스트에 삽입
- 간선 리스트에서 최소 가중치를 가지는 간선부터 추출해서
- 해당 간선에 연결된 인접 정점이 '연결된 노드 집합'에 이미 들어있다면, 스킵
- 해당 간선에 연결된 인접 정점이 '연결된 노드 집합'에 들어 있지 않으면, 해당 간선을 선택하고, 해당 간선 정보를 '최소 신장 트리'에 삽입
- 추출한 간선을 간선 리스트에서 제거
- 간선 리스트에 더 이상 간선이 없을 때까지 3~4번 반복
구현
-
기본적인 구현
🕰 시간복잡도 : O(ElogE)
- 간선의 개수 E개
- python 코드from collections import defaultdict from heapq import * def prim(start_node, edges): mst = list() # 모든 간선의 정보를 adjacent_egdes에 저장 adjacent_egdes = defaultdict(list) for weight, n1, n2 in edges: adjacent_egdes[n1].append((weight, n1, n2)) adjacent_egdes[n2].append((weight, n2, n1)) # 연결된 노드 집합에 시작 노드 포함 connected_nodes = set(start_node) # 시작(특정) 노드에 연결된 간선 리스트 candidate_edge_list = adjacent_egdes[start_node] heapify(candidate_edge_list) # 가중치 순으로 간선 리스트 정렬 # 최소 가중치를 가지는 간선부터 추출 while candidate_edge_list: # 최소 가중치 간선이 추출됨 weight, n1, n2 = heappop(candidate_edge_list) if n2 not in connected_nodes: connected_nodes.add(n2) mst.append((weight, n1, n2)) # n2의 간선들 중 # 연결된 노드 집합에 없는 노드의 간선들만 # 후보 간선 리스트에 추가함 for edge in adjacent_egdes[n2]: if edge[2] not in connected_nodes: heappush(candidate_edge_list, edge) return mst # 중복된 간선 제외(defaultdict을 이용하기 때문) myedges = [ (7, 'A', 'B'), (5, 'A', 'D'), (8, 'B', 'C'), (9, 'B', 'D'), (7, 'B', 'E'), (5, 'C', 'E'), (7, 'D', 'E'), (6, 'D', 'F'), (8, 'E', 'F'), (9, 'E', 'G'), (11, 'F', 'G') ] print(prim('A', myedges)) """ [(5, 'A', 'D'), (6, 'D', 'F'), (7, 'A', 'B'), (7, 'B', 'E'), (5, 'E', 'C'), (9, 'E', 'G')] """ ``` -
개선된 구현
🕰 시간복잡도 : O(ElogV)
- 간선의 개수 E개, 노드의 개수 V
- 간선이 아닌 노드를 중심으로 우선순위 큐를 적용
- 노드마다 Key 값을 가지고 있고 key 값은 우선순위에 넣는다.
- python 코드""" heapdict을 쓰는 이유: 새롭게 heap에 push하거나 pop하지 않아도 기존의 heap 내용만 update한다 하더라도 알아서 최소 힙의 구조로 업데이트 함 * heapdict을 쓰기 전에 HeapDict 라이브러리 설치하기: -> pip install HeapDict """ from heapdict import heapdict # 시간 복잡도: O(E logV) = O(V) + O(V logV) + O(E logV) def prim(graph, start): # pi: key를 업데이트하게 하는 상대 노드를 저장 mst, keys, pi, total_weight = list(), heapdict(), dict(), 0 # 초기화: O(V) for node in graph.keys(): keys[node] = float('inf') pi[node] = None keys[start], pi[start] = 0, start # while문: O(V logV) while keys: current_node, current_key = keys.popitem() mst.append([pi[current_node], current_node, current_key]) total_weight += current_key # for문: O(E logV) for adjacent, weight in mygraph[current_node].items(): if adjacent in keys and weight < keys[adjacent]: keys[adjacent] = weight pi[adjacent] = current_node return mst, total_weight mygraph = { 'A': {'B': 7, 'D': 5}, 'B': {'A': 7, 'D': 9, 'C': 8, 'E': 7}, 'C': {'B': 8, 'E': 5}, 'D': {'A': 5, 'B': 9, 'E': 7, 'F': 6}, 'E': {'B': 7, 'C': 5, 'D': 7, 'F': 8, 'G': 9}, 'F': {'D': 6, 'E': 8, 'G': 11}, 'G': {'E': 9, 'F': 11} } mst, total_weight = prim(mygraph, 'A') print('MST:', mst) print('Total Weight:', total_weight) """ MST: [['A', 'A', 0], ['A', 'D', 5], ['D', 'F', 6], ['A', 'B', 7], ['D', 'E', 7], ['E', 'C', 5], ['E', 'G', 9]] Total Weight: 39 """ ```
크루스칼 vs 프림
- 둘다 그리디 알고리즘으로 분류됨
- 크루스칼 알고리즘은 가장 가중치가 작은 간선부터 선택하면서 MST 구함
- 프림 알고리즘은 특정 정점에서 시작, 해당 정점에 연결된 가장 가중치가 작은 간선을 선택, 간선으로 연결된 정점들에 연결된 간선 중에서 가장 가중치가 작은 간선을 선택하면서 MST 구함
유니온파인드
서로소 집합 자료구조 (union-find 자료구조)
- 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
- 연산 : union, find
union(합집합) 연산
- 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
find(찾기) 연산
- 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
구현
- 트리 자료구조를 이용하여 집합을 표현
- union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
1) A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.
2) A'를 B'의 부모 노드로 설정한다(B'가 A'를 가리키도록 한다) - 모든 union(합집합) 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복한다.
부모 테이블을 항상 가지고 있어야 한다.
서로소 집합 알고리즘으로 루트를 찾기 위해서는 재귀적으로 부모를 거슬러 올라가야 한다.
Python 코드
- 비효율적인 코드
🕰 시간복잡도 : O(VM)- 노드의 개수 V개, find/union 연산의 개수 M개
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] !=x:
return find_parent(parent, parent[x])
return x
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a<b:
parent[b]=a
else:
parent[a]=b
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1)
# 부모 테이블 상에서 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i] = i
# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end = '')
for i in range(1, v+1):
print(find_parent(parent, i), end=' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v+1):
print(parent[i], end=' ')- 최적화된 코드
🕰 시간복잡도 : O(V+MlogV)- 노드의 개수 V개, find/union 연산의 개수 M개
- 경로 압축(Path Compression) 기법 적용
- find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블값을 갱신하는 기법
- 루트 노드에 더욱 빠르게 접근할 수 있다!
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] !=x:
parent[x]= find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]'서로 다른 개체(객체)가 연결되어 있다'
-> 그래프 알고리즘 떠올리기!ex) 여러 개의 도시가 연결되어 있다.
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