소개

봄부터 사내 SE가 되었습니다.
여러가지 공부중이므로, 숙련의 분에게는 부족한 내용일지도 모릅니다.
Qiita의 투고 내용은 내 메모 정도의 내용이므로
소속된 조직의 견해나 학술적인 내용이 아닙니다.
최선을 다하고 업데이트를 계속합니다.

정규 분포의 확률 밀도 함수란?

평균 μ, 분산 σ^2의 정규 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같이 표현됩니다.

X〜N(\mu,\sigma^2)

그렇다면

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}\times\exp(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2)

정규 분포의 그래프란?

위의 확률 밀도 함수 그래프를 작성하고 싶습니다.
그래프를 작성하려면 미분하고 증감표를 작성합니다.
(합성 함수의 미분입니다)

\begin{align}
\frac{df(x)}{dx} &= \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}\times\exp(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2)\times(-\frac{1}{2\sigma^2}\times2\times(x-\mu))\\

&=f(x)\times\frac{-(x-\mu)}{\sigma^2}
・・・①
\end{align}

(잘 깨끗하게 정리됩니다)
다시 한 번 미분합니다.
(곱의 미분입니다)

\begin{align}
\frac{d}{dx}\frac{df(x)}{dx}&= \frac{df(x)}{dx}\frac{-(x-\mu)}{\sigma^2}+f(x)\frac{-1}{\sigma^2}\\
&= f(x)\times\frac{-(x-\mu)}{\sigma^2}\times\frac{-(x-\mu)}{\sigma^2}-f(x)\frac{1}{\sigma^2}\\
&= f(x)\times\frac{1}{\sigma^4}\times(x-\mu)^2-f(x)\frac{1}{\sigma^2}\\
&= f(x)\frac{1}{\sigma^4}
((x-\mu)^2-\sigma^2)\\
&= f(x)\frac{1}{\sigma^4}
((x-\mu)+\sigma)((x-\mu)-\sigma)
・・・②
\end{align}

(예쁘다)

따라서 증감표는 아래와 같습니다.


x
···
μ
···


①
+
0
-

f(x)
···
최대
···



x
···
μ-σ
···
μ+σ
···


②
+
0
-
0
+

f(x)
···
변곡점
···
변곡점
···


그건 그렇고

\begin{align}
\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\exp(-x^2)=0
\end{align}

그래서

\begin{align}
\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=0
\end{align}

입니다.
(여기에서는 엄격한 증명을 피하고 있습니다. 가위의 원리?입니다.
내 지능을 알아보십시오. )

따라서 평균 μ, 분산 σ^2의 정규 분포 그래프는
μ(평균값)로 최대가 되고, μ에서 ±σ(표준편차) 떨어진 곳에서 변곡점이 되면 상상할 수 있습니다.

R에 의한 정규 분포란?

리굴만으로는 이미지 할 수 없기 때문에
시각화해 보겠습니다.
평균 0, 분산 1의 정규 분포는 다음과 같습니다.

sample.R

> curve(dnorm,-3,3)

분산 1로 가정하므로 표준 편차는 1입니다.
x=±1로 좋은 느낌의 변곡점이 되고 있을까 생각합니다.

끝에

어쨌든 정규 분포의 그래프를 쓰는 경향이 있지만,
고등학교 수학을 사용하면 다소 정확하게 쓸 수 있습니다.
(변곡점이 어디인지 생각해 그릴 수 있습니다)

그건 그렇고
평균 0 분산 1의 정규 분포를 표준 정규 분포라고 합니다.
또
평균 50 분산 100(=표준 편차 10)의 정규 분포는 편차 값으로 사용됩니다.
(편차값 60의 쪽은 변곡점에 있습니다)

반성

나는 그물 서퍼지만,
실제로 기사를 쓰면 여러가지 고생했습니다.
Qiita를 게시하는 사람들에게 다시 한 번 감사드립니다.
저도 유용한 것을 많이 쓰고 싶었습니다.