약간 재밌는 부립엽 변환법.

안녕하세요, 히타치 제작소 루마다 데이터 사이언스 랩의 중천입니다.나는 평소에 인공지능을 제어에 응용하는 연구에 종사한다.최근 몇 년 동안 기계 학습이 주목받는 상황에서 기계 학습 이론과 기계 학습을 사용하는 기술 개발 환경이 급속히 발전하는 동시에 많은 사람들이 데이터 과학에 참여했다.이미 데이터 과학에 종사하고 있는 사람과 앞으로 데이터 과학 관련 업무에 종사하고 싶은 사람 중에서 이론의 중요성을 다시 이해하거나 느끼고 싶은 사람이 있다면 가능한 한 간단명료하게 전달해 주십시오이런 생각에서 출발하여 기본적인 내용으로 기사를 쓴다.이번에는 재미있는 부립엽 분석의 성질을 소개한다.
1. 시작
(1) 공식은 이산 부립엽 변환을 바탕으로 어떤 주파수의 진폭과 비례 관계를 가진 값을 얻는 공식이다.
$$
\begin{align}
&A=\sqrt{(x(j)-x(j+2))^2+(x(j+3)-x(j+1)^2}{quad}…(1)\\
&x(j): 시간 시퀀스 데이터의 j번째 값\
&j:0,1,..., N\hspace{0.5cm} 데이터 번호\
\end{align}
$$
부립엽 변환이나 이산 부립엽 변환을 들을 때 복잡한 공식을 상상하는 사람에게 이것은 상대적으로 간단한 공식이 아닌가.이 공식은 이산 부립엽 변환에서 도출할 수 있으며, 샘플링 주기를 잘 설정할 수 있다면 임의의 주파수의 진폭을 검출할 수 있다.다음은 상세한 상황을 소개한다.

2. 이산 부립엽 변환
이산 부립엽 변환은 값이 점프할 때 사용하는 부립엽 변환이다.사고방식은 부립엽 변환과 같지만 실제 데이터는 일반적으로 이산값이기 때문에 실제 데이터에서 부립엽 변환을 응용할 때 이산 부립엽 변환을 사용한다.(2) 공식은 이산 부립엽 변환의 공식이다.
$$
\begin{align}
F(n)&=\frac{1}{N}\sum_{j=0^{N-1}f(j)\hspace{0.05cm}e\hspace{0.05cm}^{-i2\pi{n\fracc{j}{N}}}\hspace{2.1cm}・・(2)\\
n&:0,1,..., N\hspace{0.5cm}주파수 번호\
j&:0,1,..., N\hspace{0.5cm} 데이터 번호\
\end{align}
$$
(3)식과 (4)식은 복부립엽의 급수를 나타내는 식이고, (4)식은 $이다.0t달러를 이산값 $2 {\pi} j/N달러로 바꾸면 값의 개수가 무한값에서 유한값($N$개)으로 바뀌어 (2)식을 얻을 수 있습니다.
$$
\begin{align}
f(t)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e\hspace{0.05cm}^{in\omega 0t}\hspace{4cm}・・(3)\\
c_n&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\hspace{0.05
cm}e\hspace{0.05cm}^{in\omega 0t}dt\hspace{0.05cm}\hspace{2.39 cm}・・(4)\
\end{align}
$$
$F(n)$는 복면의 원주값으로 주파수 번호가 $n인 폭(|$F(n)$|)과 위상(${angle}F(n)$)을 나타낸다.
3. 조금 재미있는 이산 부립엽 변환 사용법
여기서, 우리는 이산 부립엽 변환을 사용하여 $n$=$k의 폭을 계산하는 것을 고려합니다.주파수 번호가 $k일 때의 진폭은 |$F(k)$|에서 얻을 수 있습니다.(2) 종식에서 (5)식을 얻을 수 있다.
$$
\begin{align}
F(k)&=\fracc{1}(f(0)e^{-i2{pi}k\fracc{0}{N}}(1)e^{-i2{{pi}k\frac{1}{N}})+f(N-1)e^{-i2{{pi}k\frac{N-1})\\\
&=\frac{1}{N}{\Bigl(}{\,}f(0)(cos(2{\pi}k\frac{0}{N})-i\hspace{0.05cm}sin(2{\pi}k\frac{0}{N}))+f(1)(cos(2{\pi}k\frac{1}{N})-i\hspace{0.05cm}sin(2{\pi}k\frac{1}{N}))+\\
&hspace{2cm}・・+f(N-1)(cos(2{pi}k\fracc{N-1})-i\hspace{0.05cm}sin(2{pi}k\fracc{N-
1}{N}){\,}{\Bigl}……(5)\
\end{align}
$$
여기 있다
$$
cos2{\pi}k\frac{j}{N}\hspace{15cm}
$$
및
$$
sin2{\pi}k\frac{j}{N}\hspace{15cm}
$$
의 값은 -1, 0, 1입니다.예를 들어 $k$=1$N$=4로 대입(5)식으로 하면 (6)식을 얻을 수 있다.
$$
\begin{align}
F(1)&=\frac{1}{4}{\Bigl(}f(0)(cos(2{\pi}\frac{0}{4})-i\hspace{0.05cm}sin(2{\pi}\frac{0}{4}))+f(1)(cos(2{\pi}\frac{1}{4})-i\hspace{0.05cm}sin(2{\pi}\frac{1}{4}))+\\
&\hspace{2cm}f(2)(cos(2{\pi}\frac{2}{4})-i\hspace{0.05cm}sin(2{\pi}\frac{2}{4}))+f(3)(cos(2{\pi}\frac{3}{4})-i\hspace{0.05cm}sin(2{\pi}\frac{3}{4})){\Bigr)}\\
&=\frac{1}{4}{\Bigl(}f(0)(cos(0)-i\hspace{0.05cm}sin(0))+f(1)(cos(\frac{\pi}{2})-i\hspace{0.05cm}sin(\frac{\pi}{2}))+\\
&\hspace{2cm}f(2)(cos(\pi)-i\hspace{0.05cm}sin(\pi))+f(3)(cos(\frac{3\pi}{2})-i\hspace{0.05cm}sin(\frac{3\pi}{2})){\Bigr)}\\
&=\frac{1}{4}{\Bigl(}f(0)(cos(0)-i\hspace{0.05cm}sin(0))+f(1)(cos(\frac{\pi}{2})-i\hspace{0.05cm}sin(\frac{\pi}{2}))+\hspace{4.8cm}\\
&\hspace{2cm}f(2)(cos(\pi)-i\hspace{0.05cm}sin(\pi))+f(3)(cos(\frac{3\pi}{2})-i\hspace{0.05cm}sin(\frac{3\pi}{2})){\Bigr)}\\
&=\frac{1}{4}{\Bigl(}(f(0)-if(1)-f(2)+if(3){\Bigr)}\\
&=\fracc{1}{4}{Bigl(}(f(0)-f(2))+i(f(1)-f(3){{Bigr})}…(6)\
\end{align}
$$
(6) 공식에서 $k$=1, $N$=4의 진폭과 비례 관계의 값 $A.
$$
A=\sqrt{(f(0)-f(2))^2+(f(1)-f(3)^2}{quad}…(7)\
$$
위상(진폭만 구하면 된다)을 고려하지 않으면 (8)식을 얻을 수 있다.
$$
A=\sqrt{(f(j)-f(j+2))^2+(f(j+1)-f(j+3)^2}{quad}…(8)\
$$
(8) 공식에서 알 수 있듯이 목표 주파수에 따라 샘플링 주기를 바꾸고 비교적 간단한 계산을 통해 목표 주파수의 진폭을 계산한다.즉, 목표 주파수는 복식 평면을 도는 단위 원 일주일에 해당하기 때문에 단위 원 4등분의 주기(목표 주파수의 4배 주파수)로 샘플링(또는 재샘플링)을 하고 (8)식을 사용하면 목표 주파수의 진폭을 얻을 수 있다.다음 그림은 목표 주파수가 0.5Hz일 때의 결과입니다.시간 영역 차트의 검은색 원은 샘플링 포인트를 나타냅니다.시역에서 얻은 진폭과 (8)식에서 얻은 진폭의 비례 관계를 알 수 있다.

다음 그림은 대상 주파수가 2Hz일 때의 결과입니다.시간 영역 차트의 검은색 원은 샘플링 포인트를 나타냅니다.목표 주파수에 따라 샘플링 주기를 적당히 선택하면 시간 범위 내에서 구한 진폭과 (7)식으로 구한 진폭이 비례 관계가 있음을 알 수 있다.

다음 그림은 목표 주파수가 0.5Hz일 때의 결과로 이전에 보여준 0.5Hz의 결과와 상위가 다르다.시간 영역 차트의 검은색 원은 샘플링 포인트를 나타냅니다.목표 주파수에 따라 샘플링 주기를 적당히 선택하면 시간 범위 내에서 구한 진폭과 (8)식으로 구한 진폭이 비례 관계가 있음을 알 수 있다.

종합적으로 말하면 목표 주파수의 4배 주파수에서 샘플링(또는 재샘플링)을 하고 (8)식을 사용하면 목표 주파수의 진폭을 얻을 수 있다.출력을 계산하는 데 제한이 있는 등 연산 부하를 줄이려 할 때 등이 유용하지 않겠습니까?
4. 끝말
이번에는 조금 재미있는 부립엽 변환의 사용법을 소개했다.부립엽 분석에 삼각함수, 복수 등이 등장해 공식은 언뜻 보기에는 복잡해 보일 수 있지만, 공식의 뜻을 이해하면 흥미로운 해석법이라는 것을 알 수 있다.이번에도 그 중 일부일 뿐, 이론을 이해하면 사용법이 흥미로울 수 있다.이번에는 이론의 중요성을 다시 한번 이해하거나 느끼고 싶은 분이 있다면 최대한 쉽고 쉽게 전달하고 싶어서 이 기사를 썼다.부립엽 분석에 대해 더 자세히 알고 싶으신 분들은 참고 문헌 등을 참고하시기 바랍니다.
참고 문헌
대석진일: 부립엽 분석
김곡건일:이렇게 아는 응용수학교실
트랜스포머: 부립엽 모험