속편은 여기 : 3 양자 비트에서의 GHZ 상태를 행렬 계산해 보았다

회사의 선배가 대단한 양자의 사람(어폐)으로, 동경해 양자 컴퓨터의 공부를 시작했지만, 양자학커녕 물리를 제대로 학습하고 있지 않기 때문에 푹신푹신한 나날입니다.

그런 나입니다만, 미나토 유이치로씨( @ 유이치로 미나토 )의 「가장 쉬운 양자 컴퓨터의 교본」으로 공부를 하고 있었는데, 1개의 회로가 눈에 멈췄습니다.

GHZ 상태

「양자 얽힌」의 토픽으로 소개되고 있던 GHZ(그린 버거=혼=자이링거 상태)
회로는 다음과 같습니다.


이 회로에서는 출력이 $\left|000\right>$ 와 $\left|111\right>$ 에 치우치는 것 같습니다.
보았을 뿐이라고 잘 모르기 때문에, 우선 손 계산해 갑시다!

기합의 손 계산

선배로부터 교수를 받으면서, 식에 떨어뜨려 갑니다.
회로를 아래와 같은 페이즈로 나누어 각각 계산식을 써 갑시다.

⓪ 초기 상태

계산을 위해 쉽게 볼 수 있습니다.

\begin{align}
&\left|000\right> \\ \\

&= \left|0\right> \left|0\right> \left|0\right>
\end{align}

① 양자 얽힘 준비

1 양자 비트째와 2 양자 비트째에 아다마르 게이트, 3 양자 비트째에 X 파울리 게이트를 적용합니다.

\begin{align}

& H\left|0\right> H\left|0\right> X\left|0\right> \\ \\

&= \frac{\left|0\right> + \left|1\right>}{\sqrt{2}} \frac{\left|0\right> + \left|1\right>}{\sqrt{2}} \left|1\right> \\ \\

&= \frac{1}{2} \bigl( \left|0\right> + \left|1\right> \bigr) \bigl( \left|0\right> + \left|1\right> \bigr) \left|1\right> \\ \\

&= \frac{1}{2} \bigl( \left|001\right> + \left|011\right> + \left|101\right> + \left|111\right> \bigr) \\
\end{align}

② 첫 번째 C-not 게이트

C-not 게이트를 쓰는 방법을 모르기 때문에 자기 흐름입니다.
2 양자 비트째를 타겟으로, 3 양자 비트째를 반전시킵니다.

\begin{align}

&\frac{1}{2} \bigl( \left|0\underline{0}1\right> + \left|0\underline{1}1\right> + \left|1\underline{0}1\right> + \left|1\underline{1}1\right> \bigr) \\ \\

&= \frac{1}{2} \bigl( \left|001\right> + \left|010\right> + \left|101\right> + \left|110\right> \bigr) \\
\end{align}

③ 두 번째 C-not 게이트

1 양자 비트째를 타겟으로, 3 양자 비트째를 반전시킵니다.

\begin{align}
& \frac{1}{2} \bigl( \left|\underline{0}01\right> + \left|\underline{0}10\right> + \left|\underline{1}01\right> + \left|\underline{1}10\right> \bigr) \\

&= \frac{1}{2} \bigl( \left|001\right> + \left|010\right> + \left|100\right> + \left|111\right> \bigr) \\
\end{align}

④ 전체 양자 비트에 아다마르 게이트

\begin{align}
&\frac{1}{2} \bigl( \left|001\right> + \left|010\right> + \left|100\right> + \left|111\right> \bigr) \\　\\

&= \frac{1}{2} \bigl( \left|0\right>\left|0\right>\left|1\right> + \left|0\right>\left|1\right>\left|0\right> + \left|1\right>\left|0\right>\left|0\right> + \left|1\right>\left|1\right>\left|1\right> \bigr) \\ \\

&\rightarrow \frac{1}{2} \bigl( H\left|0\right>H\left|0\right>H\left|1\right> + H\left|0\right>H\left|1\right>H\left|0\right> + H\left|1\right>H\left|0\right>H\left|0\right> + H\left|1\right>H\left|1\right>H\left|1\right> \bigr) \\ \\

&= \frac{1}{2} \Bigl( H\left|0\right>\bigl(H\left|0\right>H\left|1\right>  + H\left|1\right>H\left|0\right> \bigr) + H\left|1\right> \bigl(H\left|0\right>H\left|0\right>  + H\left|1\right>H\left|1\right> \bigr) \\ \\

&= \frac{1}{2} \Bigl( \frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(H\left|0\right>H\left|1\right>  + H\left|1\right>H\left|0\right> \bigr) + \frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(H\left|0\right>H\left|0\right>  + H\left|1\right>H\left|1\right> \bigr) \Bigr) \\ \\

&= \frac{1}{2} \Bigl( \underline{\frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(H\left|0\right>H\left|1\right>  + H\left|1\right>H\left|0\right> \bigr)}_{\hspace{2pt} a} + \underline{\frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(H\left|0\right>H\left|0\right>  + H\left|1\right>H\left|1\right> \bigr)}_{\hspace{2pt} b} \Bigr) \\ \\

\end{align}

$a$식과 $b$식으로 각각 계산합니다.

④ a식

\begin{align}

& \frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(H\left|0\right>H\left|1\right>  + H\left|1\right>H\left|0\right> \bigr) \\ \\

&= \frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(\frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}}\frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}}  + \frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}}\frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigr) \\ \\

&= \frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(\frac{\left|00\right>-\left|01\right>+\left|10\right>-\left|11\right>}{2}  + \frac{\left|00\right>+\left|01\right>-\left|10\right>-\left|11\right>}{2} \bigr) \\ \\

&= \frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(\frac{\left|00\right>-\left|11\right>+\left|00\right>-\left|11\right>}{2} \bigr) \\ \\

&= \frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(\left|00\right>-\left|11\right> \bigr) \\ \\

&= \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl(\left|0\right>+\left|1\right>\bigr)\bigl(\left|00\right>-\left|11\right> \bigr) \\ \\

&= \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl(\left|000\right>-\left|011\right>+\left|100\right>-\left|111\right> \bigr) \\ \\

\end{align}

④ b식

\begin{align}

& \frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(H\left|0\right>H\left|0\right>  + H\left|1\right>H\left|1\right> \bigr) \\ \\

&= \frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(\frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}}\frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}}  + \frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}}\frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigr) \\ \\

&= \frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(\frac{\left|00\right>+\left|01\right>+\left|10\right>+\left|11\right>}{2}  + \frac{\left|00\right>-\left|01\right>-\left|10\right>+\left|11\right>}{2} \bigr) \\ \\

&= \frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(\frac{\left|00\right>+\left|11\right>+\left|00\right>+\left|11\right>}{2} \bigr) \\ \\

&= \frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(\left|00\right>+\left|11\right> \bigr) \\ \\

&= \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl(\left|0\right>-\left|1\right>\bigr)\bigl(\left|00\right>+\left|11\right> \bigr) \\ \\

&= \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl(\left|000\right>+\left|011\right>-\left|100\right>-\left|111\right> \bigr) \\ \\

\end{align}

④ 계속

\begin{align}
& \frac{1}{2} \Bigl( \underline{\frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(H\left|0\right>H\left|1\right>  + H\left|1\right>H\left|0\right> \bigr)}_{\hspace{2pt} a} + \underline{\frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt{2}} \bigl(H\left|0\right>H\left|0\right>  + H\left|1\right>H\left|1\right> \bigr)}_{\hspace{2pt} b} \Bigr) \\ \\

&= \frac{1}{2} \Bigl( \underline{\frac{1}{\sqrt{2}} \bigl(\left|000\right>+\left|011\right>-\left|100\right>-\left|111\right> \bigr)}_{\hspace{2pt}a} + \underline{\frac{1}{\sqrt{2}} \bigl(\left|000\right>+\left|011\right>-\left|100\right>-\left|111\right> \bigr)}_{\hspace{2pt}b} \Bigr) \\ \\

&= \frac{1}{2\sqrt{2}} \bigl( \left|000\right>-\left|111\right>+\left|000\right>-\left|111\right>  \bigr) \\ \\

&= \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl( \left|000\right>-\left|111\right>  \bigr) \\ \\

\end{align}

얽힌!

\frac{1}{\sqrt{2}} \bigl( \left|000\right>-\left|111\right>  \bigr) \\ \\

훌륭하게 도출되었습니다!
노트에 쓰고 있을 때는 $a$식에 실수가 있어 잘 도출되지 않았습니다만, Qiita에 청서하는 과정에서 눈치챘습니다.
생각 밖에, 손 계산에서도 나오는 것입니다…
앞으로는 행렬식에서도 풀 수 있도록 제대로 공부해 가고 싶습니다, 내용의 이해도 깊어 가고 싶네요.