[01904] 01타일

[01904] 01타일

문제

지원이에게 2진 수열을 가르쳐 주기 위해, 지원이 아버지는 그에게 타일들을 선물해주셨다. 그리고 이 각각의 타일들은 0 또는 1이 쓰여 있는 낱장의 타일들이다.

어느 날 짓궂은 동주가 지원이의 공부를 방해하기 위해 0이 쓰여진 낱장의 타일들을 붙여서 한 쌍으로 이루어진 00 타일들을 만들었다. 결국 현재 1 하나만으로 이루어진 타일 또는 0타일을 두 개 붙인 한 쌍의 00타일들만이 남게 되었다.

그러므로 지원이는 타일로 더 이상 크기가 N인 모든 2진 수열을 만들 수 없게 되었다. 예를 들어, N=1일 때 1만 만들 수 있고, N=2일 때는 00, 11을 만들 수 있다. (01, 10은 만들 수 없게 되었다.) 또한 N=4일 때는 0011, 0000, 1001, 1100, 1111 등 총 5개의 2진 수열을 만들 수 있다.

우리의 목표는 N이 주어졌을 때 지원이가 만들 수 있는 모든 가짓수를 세는 것이다. 단 타일들은 무한히 많은 것으로 가정하자.

입력

첫 번째 줄에 자연수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000,000)

출력

첫 번째 줄에 지원이가 만들 수 있는 길이가 N인 모든 2진 수열의 개수를 15746으로 나눈 나머지를 출력한다.

코드

#include <iostream>

using namespace std;

/* 조건 */
#define MAXINPUT 1000001
const int devisor = 15746;

/* 변수 */
int N;
int memo[MAXINPUT] = {0, };

/* 함수 */
int func(int n) {
    if(memeo[n] == 0) {
        memo[n] = (func(n - 1) + func(n - 2)) % devisor;
    }
    return memo[n] % devisor;
}

int main() {
    /* Fast cin cout */
    ios_base :: sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
    /*****************/

    /* 입력 */
    cin >> N;
    memo[1] = 1;
    memo[2] = 2;

    /* 풀이 */
    cout << func(N);
}

풀이과정

수학적 풀이

우선 어떤 형태로 진행이 되는지 직접 해보면 아래와 같은 결과가 나온다.

• N = 1 (1개)
  • 1
• N = 2 (2개)
  • 11
  • 00
• N = 3 (3개)
  • 001
  • 111
  • 100
• N = 4 (5개)
  • 0011
  • 0000
  • 1001
  • 1111
  • 1100
• N = 5 (8개)
  • 00001
  • 00111
  • 00100
  • 10011
  • 10000
  • 11001
  • 11111
  • 11100

직접 구해본 결과 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 의 형태로 나타나며, 점화식으로 나타내보면 아래와 같다.

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

위의 규칙을 보고 aₙ의 값을 aₙ₋₁와 aₙ₋₂에서 00과 1을 추가하는 형태로 구할 수 있을 것 같아 찾아보니
aₙ₋₂의 앞에는 00을 추가하고
aₙ₋₁의 앞에는 1을 추가하면
aₙ의 값들이 나온다

혹시나 이 글을 읽는 사람 중 이해가 안된다면 직접 해보자
읽는 사람은 있는거냐

함수

• int func(int n)
  • 우선 N = 1인 경우와 N = 2인 경우는 OutOfBounds 런타임에러가 발생할 수 있기 때문에, main함수에서 memo[1]과 memo[2]를 채워주어 문제가 생기지 않게 했다.
  • 이후 memo[n]이 채워져있지 않으면, func(n - 1)과 func(n - 2)를 실행해 n에 대한 값을 구한다. 이 때, 동적계획법 memoization을 이용해 한 번 구한 값에 대해서는 memo[n]에 저장하여 불필요한 반복을 줄여주었다.
  • 이 문제의 조건에서 답이 정수형 int의 범위를 넘기때문에 15746으로 나눈 나머지를 출력해야 하기 때문에 return값을 15746으로 나눠주었다.
    (나머지 연산은 덧셈연산을 해도 결과가 같다.)

출처

백준 1904번 01타일
https://www.acmicpc.net/problem/1904