위너 과정 시뮬레이션

위너 프로세스 (Wiener Process) $W(t),\t\in [0,T]$ 는 다음과 같은 성질을 충족합니다.

$W(0)=0$

$ 0\leq s

$0\leq s < t\leq u < v\leq T$일 때 $W(t)-W(s)$와 $W(v)-W(u)$는 독립적

위너 과정의 이산화는 양의 정수 $N$를 취하고 $\Delta t := T/N$로 설정하고 $t_j := j\Delta t,\j = 0,\cdots N$, $W_j := W(t_j) $라고 하면,

$$
W_j = W_{j-1} + N(0,\Delta t )\\,
$$

수 있습니다. 수치 계산에서는 이 차분 방정식을 계산합니다. 파이썬의 샘플 코드는 다음과 같습니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

N = 100000
dt = 1.0 / N
t = np.arange(0, 1, dt)
dW = np.sqrt(dt)*np.random.randn(N)
dW[0] = 0
W = np.cumsum(dW)
plt.plot(t, W)