[포켓몬스터 루비] n번째로 잉어왕을 낚을 확률은...?【확률 통계】

개시하다
지금 대학원생인 제가 고등학교 때 정말 좋아했던 영상이 있어요.그 애니메이션은 포켓몬 잉어왕~ 금수두와의 역린~ 시리즈의 게임 실황 애니메이션이다(웃음).너무 재미있어서 몇 번이나 봤는데 잊어버렸던 기억이 나요.내 청춘이라고 해도 과언이 아니다.
그나저나 이 시리즈는 금색(색깔이 다른) 잉어왕 한 마리에 얽매여 포켓몬 루비를 제거하는 주제로 제작됐다.그래서 먼저 이 금빛 잉어왕을 낚은 것부터 이야기하자.그 횟수가 39416번이라니.1 자기가 했다면 첫 번째 말은 쓰지 않았을 것이고 중도에 그만두었을 것이다.그때 나는'대단한 횟수야, 잘해라'라고만 생각했다.
그런데 대학원생이 된 후 확률 통계를 배우기 시작했는데 갑자기 이 시리즈가 생각났다.그리고 "39416번도 안 붙으면 도대체 얼마나 확률적인 일이 벌어진 걸까요?"이런 문제가 생각났다.이번에는 이런 문제를 다루면서 확률 통계에 관심이 생겼으면 좋겠다는 생각에 이 기사를 썼다.여러분들이 흥미를 느끼실 수 있다면 저는 매우 기쁠 것입니다!
수학 모범
그럼, 우리 바로 수학을 해치웁시다.우선 서로 다른 색깔의 잉어왕을 낚을 확률을 $p$로 낮추어 보세요.이렇게 되면 색깔 차이가 없다. 즉, 보통 잉어왕을 낚을 확률은 $1-p$이다.또 잉어왕 낚시 횟수를 n달러로 표현해 보자.
그렇다면 여기서 표현하고 싶은 확률을 명확하게 언어화하자.여기서 표현하고자 하는 것은'$n회 전에 서로 다른 색깔의 잉어왕을 낚을 확률'이다.즉

\mbox{1回目で色違いを釣る確率} + \mbox{2回目で色違いを釣る確率} + \cdots +\mbox{$n$回目で色違いを釣る確率} 

자, 계산해.물론 이 방법도 계산할 수 있고, 문과의 고등학교 수학 범위의 지식으로도 해답할 수 있다.하지만 여기서 좀 더 똑똑해져라.'$n달러 이전에 색깔이 다른 잉어왕을 낚았다'는 부정(여현상)은'1차 이전에는 한 번도 색깔이 다른 잉어왕을 낚지 못했다'는 것이다.즉
1에서'색깔이 다른 잉어왕을 처음 낚을 확률'을 빼면,'색깔이 다른 잉어왕을 처음 낚을 확률이 높을 것'
그러니까그러니까 우리 이거 계산해 보자.우선 색깔이 다른 잉어왕을 처음 낚을 확률은

\underbrace{(1-p)\times(1-p)\times\cdots(1-p)}_{n個} = (1-p)^n

이에 따라 1에서 이것을 빼면'n달러까지 다양한 색깔의 잉어왕을 낚을 확률'을 얻을 수 있다.

1 - (1-p)^n

그렇다면 이곳에서 다양한 색깔의 잉어왕을 낚을 확률은 포켓몬 루비의 1/8192달러2이다.따라서 $p=1/8192달러입니다.따라서 색깔이 다른 잉어왕을 처음 낚을 확률은

1 - \biggl(1 - \frac{1}{8192}\biggr)^n

그래?색깔이 다른 잉어왕을 두 번째로 낚을 확률은 이렇다.

물론 낚시를 많이 할수록 잉어왕은 낚기 쉬워지고 확률도 1에 가까워진다.
결실
다시 원래의 화제로 돌아가면 그 애니메이션 시리즈는 39416차례의 낚시 치열한 전투 끝에 드디어 잉어왕을 낚았다.3만9천415차례까지 낚지 못한 셈이다.그럼 39415번째로 물고기를 낚을 확률이 어떻게 되는지 $n=39415를 대입해 보세요.그렇다면...

99.2%의 확률로 39415번 전에 낚았다니!슬프게도 0.8%의 강운을 뽑았다...
엄밀히 말하면 낚은 횟수는 38996회, 부화한 횟수는 420회다.  ↩
에서 오다http://52.3.71.212/wiki/%E8%89%B2%E9%81%95%E3%81%84.  ↩