UUB 정보

읽다논문, UUB(Uniforly Ultimtelly Bounded)라는 경계성 있는 지표가 나왔으니 학습하고 이해한 것을 적어두겠다.

UB의 정의

$\exists{b, c} > 0, a\in(0, c)$, 초기 시간 $t0달러에 의존하지 않는 $T=T(a, b) 달러 이하를 사용하면 $x$UUB가 성립됩니다.
$$\parallel{x(t_0)\parallel}\leq{a}\Rightarrow\parallel{x(t)\parallel}\leq{b},\quad\forall{t}\geq{t_0+T}$$

UB의 인상

Uniformly (일률적: 초기 시간에 의존하지 않음) + Ultiamately (최종: 한 시간 (처음부터 시작할 필요가 없음) + Bounded (경계 있음)

0에서 완전히 수렴된 것은 아니지만 제한된 시간 0 근처 지역에서는 영원히 벗어날 수 없는 인상이다
(영역을 초과하더라도 영역 외부에서 변수는 범수가 단조롭게 줄어드는 방향으로 변화하여 영역 안으로 들어간다)
주)

달러 a

달러가 크면'글로벌리'를 넣는다.

"globally"uniformly bounded

"globally"uniformly ultimately bounded

UB의 구체적인 예

비선형 시스템의 초기 값을 고려하면 다음 비자동 수정 ($\dot{x} = f (x, t) $f는 $t의 양성 함수입니다.
$$\dot{x}=-x+\delta\sin t,\quad x\left(t_{0}\right)=a>\delta>0$$
이 시스템은 균형점이 없다
백엔드 함수 $V$는 다음과 같습니다.
$$V(x)=\frac{x^2}{2}$$
$t로 미분화하면
$$\dot{V}(x)=x\dot{x}=x(-x+\delta\sin t)=-x^{2}+\delta x\sin t\leq-x^{2}+\delta|x|=-|x|(|x|-\delta)$$
이상
$$\dot{V}(x)<0,\quad\forall|x|>\delta$$
따라서 $B 영역\델타 =\lbrace | x |\leq\델타\rbrace $이외의 금액.
여기에 달러 V$x$0의 최소값이 0인 철 함수 때문에 $\dot{V}<0달러일 때 $x$|x|달러의 값은 감소하는 방향으로 단조롭게 변합니다.
즉, $x$의 초기값은 $B$입니다.Delta USD 이외에도 제한된 시간 내에 $B 달성\delta$내부, $B 이후$delta에 계속 머무르기
실제로 매틀라비로 그린 건 글로베이비 UB가 맞습니다.

$\delta=0.1,\quad x_0=10$

$\delta=5,\quad x_0=10$

코드
루건 쿠키를 4번 사용하여 수치를 계산하는 코드
solver.m

clear
syms t x(t);

d = 5;
t0=0;x0=10;te=100;n=10001;
t=linspace(t0,te,n);
x=zeros(1,n);
dt=(te-t0)/(n-1);
x(1)=x0;
for k=2:n
    k1=f(x(k-1),t(k-1),d);
    k2=f(x(k-1)+dt/2*k1,t(k-1)+dt/2,d);
    k3=f(x(k-1)+dt/2*k2,t(k-1)+dt/2,d);
    k4=f(x(k-1)+dt*k3,t(k-1)+dt,d);
    x(k)=x(k-1)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6*dt;
end
plot(t,x,'-');grid('on');
title(['Division Number= ',num2str(n-1)]);
xlabel('t');ylabel('x');

function dx = f(x,t,d) 
    dx = -x + d * sin(t);
end

카페 안정성 해석용 UUB 표시자

후방 함수 $V 달러를 UUUB 변수 $x의 철 함수 $V(x)$

로 정의

$\dot{V}(x)『$xpositive definite function(범례 등)에 관하여 위에서 억제(성립조건 가능)

현실주의적 의미의 안정(SISL1)과 UB의 차이

SISL은 균형점 근처를 유지하되 UB는 균형점과 무관함

UB는 단순히 유계성을 나타낸다

SISL은 반드시 균형점 근처에서 시작하여 균형점 부근에 계속 머무르는 것을 표시해야 한다. 이것은 미지의 간섭 등이 존재하는 실제 기기에 있어 상당히 엄격한 요구이다

UB는 균형점이나 원점 근처에서 시작할 필요가 없습니다.

UB가 SISL보다 "달다"

참고 문헌

http://www.cds.caltech.edu/archive/help/uploads/wiki/files/218/CDS270-I_Lecture2.pdf

Stable In the Sense of Lyapnov  ↩