주리아로 랜덤으로 3점을 얻어 예각 삼각형이 될 확률을 고려한다.

개시하다

우선 다음과 같은 트위터가 있다.
많이 생각했어.

확률

우선 전 평면에서 무작위로 3점을 얻은 경우.
임의로 2점을 얻으면 3점은 어디까지인가.여기서 3점이 떨어진 곳에 따라 면적비에 따라 확률을 고려하기로 했다.

둘의 면적은\infty이지만 예각 삼각형을 만드는 부분은 더 작다고 여겨진다.
확률은 0이다.
"어느 정도 영역을 한정하는 게 좋을까요?"그래서 정사각형과 원으로 고려하기로 했다.

1×1의 정사각형 내부에서 임의로 3점을 취하다.

이어서 1×1의 정사각형 내부에서 3점을 얻는다.우선 이 비율을 조사하기 위해 100만 건을 만들었다.
square.jl

n=1000000
k=0
for i=1:n
    a1=rand(2)
    a2=rand(2)
    a3=rand(2)
    x1=a2-a1
    x2=a3-a1
    t1=(x1[1]*x2[1]+x1[2]*x2[2])/(sqrt(x1[1]^2+x1[2]^2)*sqrt(x2[1]^2+x2[2]^2))
    x1=a1-a2
    x2=a3-a2
    t2=(x1[1]*x2[1]+x1[2]*x2[2])/(sqrt(x1[1]^2+x1[2]^2)*sqrt(x2[1]^2+x2[2]^2))
    x1=a1-a3
    x2=a2-a3
    t3=(x1[1]*x2[1]+x1[2]*x2[2])/(sqrt(x1[1]^2+x1[2]^2)*sqrt(x2[1]^2+x2[2]^2))
    if t1>0.0000001  && t2>0.0000001 && t3>0.0000001
        k+=1
    end
end
println(k,",",n,",",k/n)

274718,1000000,0.274718
예각 삼각형은 약 27퍼센트를 차지한다.

단위 원 안에서 임의로 3점을 얻다.

셋째, 단위 원 안에서 3점을 얻는다.이것도 100만 번 만들어서 그 비율을 조사했어.
circle1.jl

n=1000000
k=0
for i=1:n
    b1=rand(2)
    a1=[b1[1]*cos(2*π*b1[2]),b1[1]*sin(2*π*b1[2])]
    b1=rand(2)
    a2=[b1[1]*cos(2*π*b1[2]),b1[1]*sin(2*π*b1[2])]
    b1=rand(2)
    a3=[b1[1]*cos(2*π*b1[2]),b1[1]*sin(2*π*b1[2])]
    x1=a2-a1
    x2=a3-a1
    t1=(x1[1]*x2[1]+x1[2]*x2[2])/(sqrt(x1[1]^2+x1[2]^2)*sqrt(x2[1]^2+x2[2]^2))
    x1=a1-a2
    x2=a3-a2
    t2=(x1[1]*x2[1]+x1[2]*x2[2])/(sqrt(x1[1]^2+x1[2]^2)*sqrt(x2[1]^2+x2[2]^2))
    x1=a1-a3
    x2=a2-a3
    t3=(x1[1]*x2[1]+x1[2]*x2[2])/(sqrt(x1[1]^2+x1[2]^2)*sqrt(x2[1]^2+x2[2]^2))
    if t1>0.00000001  && t2>0.00000001 && t3>0.00000001
        k+=1
    end
end
println(k,",",n,",",k/n)

242824,1000000,0.242824
예각 삼각형은 약 24퍼센트를 차지한다.정사각형 때보다 조금 작아요.

단위 원의 원주에서 3점을 얻으면 확률이 \rac14로 바뀐 것 같다.

넷째, 단위 원의 원주에서 3점을 얻는다.이것도 100만 번 만들어서 그 비율을 조사했어.많은 곳에서\rac14 라는 말이 돌고 있다.
circle2.jl

n=1000000
k=0
for i=1:n
    b1=rand(1)
    a1=[cos(2*π*b1[1]),sin(2*π*b1[1])]
    b1=rand(1)
    a2=[cos(2*π*b1[1]),sin(2*π*b1[1])]
    b1=rand(1)
    a3=[cos(2*π*b1[1]),sin(2*π*b1[1])]
    x1=a2-a1
    x2=a3-a1
    t1=(x1[1]*x2[1]+x1[2]*x2[2])/(sqrt(x1[1]^2+x1[2]^2)*sqrt(x2[1]^2+x2[2]^2))
    x1=a1-a2
    x2=a3-a2
    t2=(x1[1]*x2[1]+x1[2]*x2[2])/(sqrt(x1[1]^2+x1[2]^2)*sqrt(x2[1]^2+x2[2]^2))
    x1=a1-a3
    x2=a2-a3
    t3=(x1[1]*x2[1]+x1[2]*x2[2])/(sqrt(x1[1]^2+x1[2]^2)*sqrt(x2[1]^2+x2[2]^2))
    if t1>0.0000001  && t2>0.0000001 && t3>0.0000001
        k+=1
    end
end
println(k,",",n,",",k/n)

250651,1000000,0.250651
백만 번 만들어졌고 250651개의 예각 삼각형이 형성되었다.약 25%.딱이다!!!

단위 원의 원주를 N 등분한 후 3점을 선택하면 예각 삼각형이 될 확률.

방금 Twitter@Ihi20 PvdFuguJC1F도 여기서 N\to\infrty로\rac14를 획득했습니다.

N=2n시

원주의 점 2n 중 3개를 선택합니다.\racc{2n(2n-1)(2n-2)}6개.
예각 삼각형이 되는 것은\rac{n(n-1)(n-2)} 3개다.
그래서 확률은
\frac{2n(n-1)(n-2)}{2n(2n-1)(2n-2)}=\frac{n-2}{2(2n-1)}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac14

N=2n+1시

원주 2n+1은 이 점에서 3개를 선택한다.\frac{(2n+1)(2n)(2n-1)}6개.
예각 삼각형이 된 것은\rac{n(n+1)(2n+1)}6개다.
그래서 확률은
\frac{n(n+1)(2n+1)}{(2n+1)(2n)(2n-1)}=\frac{n+1}{2(2n-1)}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac14
다섯째, 단위 원의 주간을 N 부분으로 나누느냐, 아니면 100만 번을 만들어 그 비율을 조사하느냐.이번에는 이론적 가치가 있어서 그것과 비교하였다.
circle3.jl

for m=3:20
n=1000000
k=0
p=0
for i=1:n
    b1=sample(1:m,3,replace=false)
    a1=[cos(2*π*b1[1]/m),sin(2*π*b1[1]/m)]
    a2=[cos(2*π*b1[2]/m),sin(2*π*b1[2]/m)]
    a3=[cos(2*π*b1[3]/m),sin(2*π*b1[3]/m)]
    
    x1=a2-a1
    x2=a3-a1
    t1=(x1[1]*x2[1]+x1[2]*x2[2])/(sqrt(x1[1]^2+x1[2]^2)*sqrt(x2[1]^2+x2[2]^2))
    
    x1=a1-a2
    x2=a3-a2
    t2=(x1[1]*x2[1]+x1[2]*x2[2])/(sqrt(x1[1]^2+x1[2]^2)*sqrt(x2[1]^2+x2[2]^2))
    
    x1=a1-a3
    x2=a2-a3
    t3=(x1[1]*x2[1]+x1[2]*x2[2])/(sqrt(x1[1]^2+x1[2]^2)*sqrt(x2[1]^2+x2[2]^2))
    
    if t1>0.00000001  && t2>0.00000001 && t3>0.00000001
        k+=1
    end
end
    if m%2==0
        p=(m/2-2)/(2*(m-1))
    else
        p=((m-1)/2+1)/(2*(m-2))
    end
println("m=",m,",","100万回調べた割合は",k/n,"。理論的な確率は",p)
end

m=3천110만건을 조사한 비율은 1.0이었다.이론 확률은 1.0이다
4천500만건을 조사한 비율은 0.0이었다.이론적 확률은 0.0이다
5천100만건을 조사한 비율은 0.50554였다.이론적 확률은 0.5이다
1만1천14건의 비율을 조사했다.이론적 확률은 0.1이다
7천100만건을 조사한 비율은 0.399824였다.이론적 확률은 0.4이다
8천100만건을 조사한 비율은 0.14472였다.이론 확률은 0.1142857142857171428585
9천100만건을 조사한 비율은 0.356421이었다.이론 확률은 0.35714285714285714285715이다
1010만 건을 조사한 비율은 0.1673이었다.이론적 확률은 0.16666666666666
1천100만건을 조사한 비율은 0.33만2천792였다.이론 확률은 0.333333333
1천210만건을 조사한 비율은 0.1875였다.이론 확률은 0.118118181818182이다
1천3100만건을 조사한 비율은 0.31만8천368이었다.이론 확률은 0.318118181818182이다
1만4천100건을 조사한 비율은 0.19만2천279였다.이론 확률은 0.29230769230769232이다
1만5천100건을 조사한 비율은 0.307615였다.이론 확률은 0.307923076923077이다
1만6천100건을 조사한 비율은 0.1948이었다.이론적 확률은 0.2이다
1천7100만건을 조사한 비율은 0.29358이었다.이론적 확률은 0.3이다
1천8100만건을 조사한 비율은 0.25984였다.이론 확률은 0.25882352941646이다
1천900만건을 조사한 비율은 0.2294719였다.이론 확률은 0.2911764705882354이다
2만 건을 조사한 비율은 0.21만 6퍼센트였다.이론 확률은 0.22152631578947367이다
느낌 좋다!!!

총결산

처음에는 내적의 공식이 다르고 확률이 7% 정도였다이렇게 하루 정도 생각했어요.
이후 t1>0 등이 결정t1>0.0000001 등 미묘한 것을 제거했다.
이렇게 실험해 보면 1×1 정사각형 내부의 27%와 단위 원 내부의 24%의 이론치를 구하고 싶다.(찾아보니 어딘가에 있는 것 같다.)또 왜 정사각형이 단위 원보다 예각 삼각형을 형성하기 쉬운가.
알았으면 보고해!!