부동 소수점이 실수가 아닌 이유 이해

수레 ≠ ℝ

437 = 400    + 30     + 7
    = 4(100) + 3(10)  + 7(1)
    = 4(10²) + 3(10¹) + 7(10⁰)

0 = 0
1 = 1
2 = 1 0
3 = 1 1
4 = 1 0 0
5 = 1 0 1
6 = 1 1 0
7 = 1 1 1
8 = 1 0 0 0
9 = 1 0 0 1

237 - 128 = 109
109 - 64  = 45
45  - 32  = 13
13  - 8   = 5
5   - 4   = 1
1   - 1   = 0

256 128 64 32 16 8 4 2 1
      1  1  1  0 1 1 0 1

정수를 이진 함수로

x = 19 = 1(2⁴) + 0(2³) + 0(2²) + 1(2¹) + 1(2⁰) = 10011.

예상대로 x = 19로 실행to_binary하면 손으로 얻은 결과와 일치합니다 😎.

❯ python to_binary.py
The binary representation of 19 is 10011.

분수는 어떻습니까?

x = 3/8로 실행to_binary하면 다음과 같은 결과가 발생합니다.

❯ python to_binary.py
The binary representation of 0.375 is 0.375.

분명히 이것은 잘못된 것입니다. 0.375는 우리가 🤦🏾의 이진 표현을 원하는 것입니다! 따라서 분수를 처리할 수 있는 함수가 필요합니다. 간단하게 유지하기 위해 최대 1인 분수를 고수할 수 있습니다(부동 소수점 산술에 대한 자세한 내용은 끝에 있는 리소스 참조).

𝑥 = 3/8의 경우 우리는 그것을 압니다. 3/8 = 0.375 = 3/10 + 7/10² + 5/10³. 바이너리 형식을 얻기 위한 절차는 다음과 같습니다.

예를 들어...

참고: 𝑥(2ᵖ)가 정수인 정수 𝑝가 없으면 내부 표현은 항상 근사치입니다. 이것이 float의 동등성( == )에 대한 테스트가 정확하지 않은 이유이며 매우 기괴한 동작으로 이어질 것입니다.

>>> x = 0.1 + 0.2
>>> if x == 0.3: print('Duh!🙄')
... else: print('WTF...🧐?')
...
WTF...🧐?

십진수를 이진수로…

x = 3/8로 실행decimal_to_binary하면 다음과 같은 결과가 발생합니다.

❯ python decimal_to_binary.py
The binary representation of 0.375 is 0.011.

정확히 우리가 기대했던 것 😎.

자세히 알아보기

• Floating-point arithmetic (wikipedia)
• What Every Data Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic
• The classic What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic , David Goldberg(수학 공포증이 아닌 심층 분석)

읽어주셔서 감사합니다.