2차원 비온도 열전도 분석
개요
파이톤으로 2차원 비평온 열전도 분석 프로그램을 만들어 보았다.
원소는 삼투분석과 마찬가지로 4 노드 4 고스 적분점을 가진 동위소 파라미터 원소다.
비온도 열전도 분석의 유한원 공식
여기에는 다음과 같은 요소의 유한 요소식을 사용한다.
$$
[\boldsymbol{k}]\{\boldsymbol{\phi}\}+[\boldsymbol{c}]\left\{\cfrac{\partial\boldsymbol{\phi}}{\partial t}\right\}=\{\boldsymbol{f}\}
$$
$$
\begin{align}
&[\boldsymbol{k}]=\int_A\kappa\left(\frac{\partial [\boldsymbol{N}]^T}{\partial x}\frac{\partial [\boldsymbol{N}]}{\partial x}+\frac{\partial [\boldsymbol{N}]^T}{\partial y}\frac{\partial [\boldsymbol{N}]}{\partial y}\right)dA
+\int_s\alpha_c[\boldsymbol{N}]^T [\boldsymbol{N}]ds\\
&[\boldsymbol{c}]=\int_A\rho c [\boldsymbol{N}]^T [\boldsymbol{N}]dA\\
&{\boldsymbol{f}}=\int_A\dot{Q}[\boldsymbol{N}]^T dA+\int_s\alpha_c T_c [\boldsymbol{N}]^T ds
\end{align}
$$
열적 고려
의식적으로 콘크리트에 대해 열전도 분석을 하고 콘크리트의 단열 온도 상승 특성을 첨가한다.
$$
T(t)=T_k (1-e^{-\alpha t})
$$
여기,$T최종 온도 상승량 k$$\alpha는 발열 속도를 나타내는 매개 변수입니다.
상기 공식을 사용하면 열량 $Q$와 발열률 $\dot{Q}달러를 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$
\begin{equation}
Q=\rho\cdot c\cdot T(t) \qquad\rightarrow\qquad\dot{Q}=\rho\cdot c\cdot T_k\cdot\alpha\cdot e^{-\alpha t}
\end{equation}
$$
시간 이산화 방법
Crank-Nicolson 차분식을 비정상적인 유한원식을 해결하는 시간 이산화 방법으로 채택하다.
실제로 차분 공식을 사용하여 시간 $t의 이미 알고 있는 벡터를 사용하여 $t+\Deltat달러의 노드 온도를 순서대로 계산합니다.
전체 해석 범위의 행렬 벡터를 표시하기 위해 기호를 대문자로 설정합니다.
$$
\begin{equation}
\left(\frac{1}{2}[\boldsymbol{K}]+\frac{1}{\Delta t}[\boldsymbol{C}]\right){\boldsymbol{\Phi}(t+\Delta t)}
=\left(-\frac{1}{2}[\boldsymbol{K}]+\frac{1}{\Delta t}[\boldsymbol{C}]\right){\boldsymbol{\Phi}(t)}+\frac{{\boldsymbol{F}(t+\Delta t)}+{\boldsymbol{F}(t)}}{2}
\end{equation}
$$
원소의 재료 특성은 시간에 따라 변하지 않는 설정이기 때문에 시간 단계 계산에서
numpy.linalg.inv(A)는 역행렬을 한 번만 계산하고 이를 보존하여 각 시간의 온도 역사를 계산한다.경계 조건
쓸 수 있어요?
사용에 있어서는 400가지 요소, 441의 자유도, 계산 시간 순서는 1000회, 38초 정도입니다. 평가는 개인의 느낌에 따라 하지만 제 경우는 기다릴 수 없는 시간이 아닙니다. 참고로 포란 동일 모델의 계산은 1.6초에 완성되었습니다.
절차.
FEM 프로그램과 함께 작도 프로그램을 만들었다. 언어는 파이톤, 온도 이력도는 matplotlib, 3차원 온도 분포도는 GMT(Generic Mapping Tools)가 그렸다. matplotlib의 3차원 그림이 별로 예쁘지 않기 때문이다.
프로그램 및 입력 데이터 사례는 Gist에 붙여진 데이터로 연결됩니다.
실행할 스크립트
FEM 컴퓨팅 실행 스크립트
a_py.txt
python3 py_fem_heat.py inp_div20_model.txt inp_div20_thist.txt out_div20.txt
드로잉 실행 스크립트
파이썬의 온도 히스토리, GMT의 3차원 온도 분포도 제작 스크립트
a_fig.txt
python3 py_heat_2D.py out_11_div20_10.txt
python3 py_heat_3D.py out_11_div20_10.txt
bash _a_gmt_3D.txt
mogrify -trim -density 300 -bordercolor 'transparent' -border 10x10 -format png *.eps
rm *.eps
TeX를 통한 pdf 및 ImageMagick을 통한 pg 이미지 만들기
TeX로 pdf를 제작한 후 ImageMagick을 통해 경계를 삭제하고 pg 이미지를 생성하는 스크립트
a_tex.txt
platex tex_fig.tex
dvipdfmx -p a3 tex_fig.dvi
convert -trim -density 400 tex_fig.pdf -bordercolor 'transparent' -border 20x20 -quality 100 tex_fig.png
tex_fig.tex
TeX 파일
A3 용지에 8개의 pg 이미지를 나란히 구성하는 TeX 파일
tex_fig.tex
\documentclass[english]{jsarticle}
\usepackage[a3paper,top=25mm,bottom=25mm,left=25mm,right=25mm]{geometry}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{12.0cm}\vspace{0.2zh}\includegraphics[width=12.0cm,bb={0 0 1900 1122}]{_fig_gmt_xyz_0.png}\end{minipage}&
\begin{minipage}{12.0cm}\vspace{0.2zh}\includegraphics[width=12.0cm,bb={0 0 1900 1122}]{_fig_gmt_xyz_1.png}\end{minipage}\\
& \\
& \\
\begin{minipage}{12.0cm}\vspace{0.2zh}\includegraphics[width=12.0cm,bb={0 0 1900 1122}]{_fig_gmt_xyz_2.png}\end{minipage}&
\begin{minipage}{12.0cm}\vspace{0.2zh}\includegraphics[width=12.0cm,bb={0 0 1900 1122}]{_fig_gmt_xyz_3.png}\end{minipage}\\
& \\
& \\
\begin{minipage}{12.0cm}\vspace{0.2zh}\includegraphics[width=12.0cm,bb={0 0 1900 1122}]{_fig_gmt_xyz_4.png}\end{minipage}&
\begin{minipage}{12.0cm}\vspace{0.2zh}\includegraphics[width=12.0cm,bb={0 0 1900 1122}]{_fig_gmt_xyz_5.png}\end{minipage}\\
& \\
& \\
\begin{minipage}{12.0cm}\vspace{0.2zh}\includegraphics[width=12.0cm,bb={0 0 1900 1122}]{_fig_gmt_xyz_6.png}\end{minipage}&
\begin{minipage}{12.0cm}\vspace{0.2zh}\includegraphics[width=12.0cm,bb={0 0 1900 1122}]{_fig_gmt_xyz_7.png}\end{minipage}\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}
입력 데이터 형식
데이터를 입력하려면 두 개의 파일을 사용하십시오.
첫째, 모델 데이터, 노드 수, 요소 수 등 기본 제량, 재료 특성, 요소 노드 관계, 노드 좌표, 경계 조건 등을 입력한다.
다른 하나는 온도 지정 경계와 전열 경계 외부 온도의 시간력 데이터 파일입니다. 정보량이 증가하기 때문에 모델 데이터와 분리해서 입력합니다.
모델 데이터
npoin nele nsec kot koc delta # Basic values for analysis
Ak Ac Arho Tk Al # Material properties
....(1 to nsec).... #
node-1 node-2 node-3 node-4 isec # Element connectivity, Material set number
....(1 to nele).... # (counterclockwise order of node numbers)
x y T0 # Coordinates of node, initial temperature of node
....(1 to npoin).... # (x: right-direction, y: upward direction)
nokt # Node number of temperature given boundary
....(1 to kot).... # (Omit data input if kot=0)
nekc_0 nekc_1 alphac # Element number, node number defined side, heat transfer rate
....(1 to koc).... # (Omit data input if koc=0)
n1out # Number of nodes for output of temperature time history
n1node_1 ....(1 line input).... # Node number for above
n2out # frequency of output of temperatures of all nodes
n2step_1 ....(1 line input).... # Time step number for above
# (Omit data input if ntout=0)
노드 수, 요소 수, 재료 특성 수
kot, koc
온도 지정 경계 노드 수, 전열 경계 컴포넌트 변수
delta
시간 간격 계산
Ak, Ac, Arho
열전도율
Tk, Al
최고 단열 상승 온도, 발열 속도 파라미터
x, y, T0
노드 x 좌표, 노드 y 좌표, 노드 초기 온도
nokt
온도 지정 경계 노드 번호
nekc_0, nekc_1, alphac
전열 경계가 있는 소자 번호, 전열 경계 소자 경계의 노드 번호, 전열 경계의 전열 계수
n1out
모든 시간이 경과한 노드 수를 출력합니다
n1node
모든 시간이 경과한 노드 번호를 출력합니다
n2out
모든 노드의 온도를 출력하는 시간 보폭
n2step
모든 노드의 온도를 출력하는 시간 단계 번호
전열 경계에서는 요소의 모서리를 지정해야 합니다. 따라서 전열 경계가 있는 요소 번호와 지정된 모서리가 있는 노드 번호를 지정합니다. FEM에서는 지정된 요소의 노드 번호를 시계 반대 방향으로 입력하므로 모서리를 구성하는 첫 번째 노드 번호를 입력하면 모서리를 지정할 수 있습니다.
온도 지정 경계/전열 경계 외부 온도 데이터
1 TE[1] ... TE[kot] TC[1] ... TC[koc] # data of 1st time step
2 TE[1] ... TE[kot] TC[1] ... TC[koc] # data of 2nd time step
3 TE[1] ... TE[kot] TC[1] ... TC[koc] #
....(repeating until end time)..... # data is read step by step
itime TE[1] ... TE[kot] TC[1] ... TC[koc] #
출력 데이터 형식
npoin nele nsec kot koc delta niii n1out n2out
25 16 1 0 16 1.0000000e+00 101 5 0
sec Ak Ac Arho Tk Al
1 2.5000000e+00 2.8000000e-01 2.3500000e+03 4.0000000e+01 2.0000000e-01
node x y tempe0 Tfix
1 -5.0000000e-01 -5.0000000e-01 2.0000000e+01 0
2 -5.0000000e-01 -2.5000000e-01 2.0000000e+01 0
3 -5.0000000e-01 0.0000000e+00 2.0000000e+01 0
..... (omit) .....
0
23 5.0000000e-01 0.0000000e+00 2.0000000e+01 0
24 5.0000000e-01 2.5000000e-01 2.0000000e+01 0
25 5.0000000e-01 5.0000000e-01 2.0000000e+01 0
nek0 nek1 alphac
1 1 1.0000000e+01
5 6 1.0000000e+01
9 11 1.0000000e+01
13 16 1.0000000e+01
13 21 1.0000000e+01
14 22 1.0000000e+01
15 23 1.0000000e+01
16 24 1.0000000e+01
16 25 1.0000000e+01
12 20 1.0000000e+01
8 15 1.0000000e+01
4 10 1.0000000e+01
4 5 1.0000000e+01
3 4 1.0000000e+01
2 3 1.0000000e+01
1 2 1.0000000e+01
elem i j k l sec
1 1 6 7 2 1
2 2 7 8 3 1
3 3 8 9 4 1
4 4 9 10 5 1
5 6 11 12 7 1
6 7 12 13 8 1
7 8 13 14 9 1
8 9 14 15 10 1
9 11 16 17 12 1
10 12 17 18 13 1
11 13 18 19 14 1
12 14 19 20 15 1
13 16 21 22 17 1
14 17 22 23 18 1
15 18 23 24 19 1
16 19 24 25 20 1
iii ttime Node_11 Node_12 Node_13 Node_14 Node_15
0 0.0000000e+00 2.0000000e+01 2.0000000e+01 2.0000000e+01 2.0000000e+01 2.0000000e+01
1 1.0000000e+00 2.5712484e+01 2.7416428e+01 2.7023876e+01 2.7416428e+01 2.5712484e+01
2 2.0000000e+00 2.8833670e+01 3.3625990e+01 3.2820487e+01 3.3625990e+01 2.8833670e+01
..... (omit) .....
98 9.8000000e+01 1.1182079e+01 1.2141098e+01 1.2494074e+01 1.2141098e+01 1.1182079e+01
99 9.9000000e+01 1.1140143e+01 1.2065139e+01 1.2405593e+01 1.2065139e+01 1.1140143e+01
100 1.0000000e+02 1.1099694e+01 1.1991874e+01 1.2320250e+01 1.1991874e+01 1.1099694e+01
n=25 time=0.147 sec
단계 수 계산(초기 온도 포함)
Tfix
노드 온도 지정 없음(0: 온도 지정 없음, 1: 온도 지정)
iii, ttime, Node_x
출력 시간 절차, 시간, 온도 역사의 노드 번호 이후 각 시각의 온도 역사 기록
수출 사례
matplotlib으로 만든 온도 이력도
GMT가 제작한 시간별 온도 분포도
시간 단위는 hour이다.
이상
Reference
이 문제에 관하여(2차원 비온도 열전도 분석), 우리는 이곳에서 더 많은 자료를 발견하고 링크를 클릭하여 보았다 https://qiita.com/damyarou/items/c7c206a1393ef328be68텍스트를 자유롭게 공유하거나 복사할 수 있습니다.하지만 이 문서의 URL은 참조 URL로 남겨 두십시오.
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