신장트리와 위상정렬

신장트리 : 그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프

👉 신장 트리가 아닌 부분 그래프를 보면, 1번 노드는 연결되어 있지 않고, 사이클이 존재하기 때문에 신장 트리라고 할 수 없다.

1. 최소 신장 트리

📍 예시. N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우.

• 이 때, 두 도시 A, B를 선택했을 때 A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치
  👉 즉, 모든 노드가 서로 연결되어 이동이 가능하도록 만들되, 최소한의 비용으로 전체 신장 트리를 구성하고자 하는 문제
  
  
  

2. 크루스칼 알고리즘

• 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘으로, 그리디 알고리즘으로 분류된다.

📍 동작 과정
   ◼ 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
   ◼ 간선을 하나씩 확인하면서 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
      ◾ 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
      ◾ 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 크리에 포함시키지 않는다.

👉 원래는 오름차순으로 비용을 정렬해야한다.
👉 참고로, 최종적으로 만들어지는 최소신장트리에 포함되어 있는 간선의 개수는 (전체 노드의 개수 - 1) 이다.

👉 이 때, 3번 노드와 4번 노드는 같은 집합에 속해있지 않은 상태였기 때문에, 같은 집합에 속할 수 있도록 Union 함수를 호출한다.


👉 이미, 6번 노드와 7번 노드는 같은 집합에 속해있기 때문에 무시하고 넘어간다.

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
 
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b
 
# 노드의 개수와 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
parent = [0] * (n + 1) # 부모 테이블 초기화

# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, n + 1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    x, y, z = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((z, x, y))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
total = 0 # 전체 가로등 비용

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    total += cost
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(total - result)

✅ 크루스칼 알고리즘 성능 분석

• 간선의 개수가 E개일때, O(ElogE)의 시간 복잡도
• 가장 많은 시간을 요구하는 곳은 간선의 정렬을 수행하는 부분이다.
  -> 표준 라이브러리를 이용해 E개의 데이터를 정렬하기 위한 시간 복잡도는 O(ElogE)이기 때문에.
  
  

3. 위상정렬

위상정렬 : 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것.

👉 자료구조와 알고리즘을 모두 수강해야만 고급 알고리즘을 수강할 수 있다.

• 진입 차수(Indegree) : 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
• 진출 차수(Outdegree) : 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수
  
  📍 동작 과정
     ◼ 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
     ◼ 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
        ◾ 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.
        ◾ 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.
  👉 결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.

• 위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있다.
  -> DAG(Direct Acyclic Graph) : 순환하지 않는 방향 그래프
• 위상 정렬에서는 여러 가지 답이 존재할 수 있다.
  -> 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러 가지 답이 존재한다.
• 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수있다.
  -> 사이클이 포함되니 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못한다.
• 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있다.

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int,  input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indgree = [0]*(v+1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v+1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a,b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indgree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v+1):
        if indgree[i] == 0:
            q.append(i)
    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indgree[i] == 0:
                q.append(i)
    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result :
        print(i, end=' ')

topology_sort()

✅ 위상정렬 알고리즘 성능 분석

• 위상 정렬을 위해 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차례대로 제거해야 한다.
  -> 그러므로, 위상 정렬 알고리즘의 시간 복잡도는 O(V+E)이다.
  
  

출처 : 이것이 취업을 위한 코딩테스트다