[소 재료] 2차원 가우스 함수의 그림

머리

바로 사용할 수 있습니다! 업무로 실천 할 수 있습니다! Python에 의한 AI · 기계 학습 · 심층 학습 앱을 만드는 방법의 3장 4항에서 가우시안 필터가 되는 것을 만났다. 전혀 처음 보았기 때문에 여러가지 조사하면,

이미지는 고주파와 저주파로 분리 가능

고주파는 변화가 심하고 저주파는 변화가 적다. 자연의 이미지라면 저주파의 부분이 많아진다

일반적으로 이미지 처리를 수행 할 때 전처리로 평활화를 수행하여 고주파수를 줄입니다 (엣지 및 노이즈 감소)

평활화를 실시하여 화상의 본질인 저주파 부분을 가능한 한 손상시키지 않고 처리를 용이하게 한다(???)

평활화에 사용되는 필터에는 몇 가지 종류가 있으며, 그 중 하나가 가우시안 필터

가우시안 필터는 일률적으로 평활화하는 것이 아니라, 주목 화소로부터의 거리에 따라 가중치를 바꾸는 것으로, 자연스러운 평활화를 실현할 수 있다(??)

같다. 어쨌든 윤곽 검출시에 하는 루틴과 같은 것이었습니다.

본편

가우시안 필터는 다음 공식에 따라 이미지의 평활화를 수행합니다.

$$f(x, y) =\frac{1}{2\pi\sigma^2}exp\left(-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}\right)$ $

$x, y$는 주목 화소로부터의 거리, $\sigma$는 표준 편차이며, $\sigma$를 크게 할수록 흐림이 단단해지는 것 같습니다.

여기서 심플하게 의심스럽게 생각한 것이, 「원래 이 함수는 누구인가?」라고 하는 것입니다. 최근에는 4차원 이상의 함수나 벡터? 에 어울리는 타이밍도 많아, 그림이 못되어 꽤 이해에 시달리고 있습니다만, 「이것이라면 3차원으로 갈 수 있어!」라고 하는 것으로, matplotlib를 사용해 그래프로 해 보았습니다.

코드

$x,y,\sigma$로부터 값을 돌려주는 가우스 함수의 함수를 준비해, np.arrange로 지정한 공간상에 메쉬 그리드로서 표시하고 있습니다. 3차원 그래프를 간단한 코드로 바삭바삭하게 그릴 수 있는 matplotlib군은 정말 우수합니다.

gaussian.py

import math

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def gaussian_func(x, y, sigma):
    exponent = - (x ** 2 + y ** 2) / (2 * pow(sigma, 2))
    denominator = 2 * math.pi * pow(sigma, 2)
    return pow(math.e, exponent) / denominator

x = np.arange(-3.0, 3.0, 0.001)
y = np.arange(-3.0, 3.0, 0.001)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = gaussian_func(X, Y, 1)

fig = plt.figure(figsize=(10, 10))
ax = Axes3D(fig)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("y")
ax.set_zlabel("f(x, y)")

ax.plot_wireframe(X, Y, Z)
plt.savefig("gaussian.jpg")
plt.show()

출력 이미지

이번은 $(x, y) = (0, 0)$를 중심으로 하기 때문에, 거기에서 바깥쪽을 향해 부드럽게 내려가는 형태가 되었습니다. 실제로는 이 중심이 주목 화소이며, 거기로부터 거리가 멀어짐에 따라 흐림이 강해, 원래의 정보가 손상되어 가는군요. 실제의 계산으로서는 화소와 가우시안 함수의 값의 컨벌루션 화려합니다.

후기

어쩌면 20% 정도 밖에 알고 있지 않을까 생각합니다만, 적어도 가우시안 필터가 무엇을 하고 있는 것인지 근심하게 잡을 수 있었습니다.

집합 지식에 감사.

참고 사이트님

이미지 솔루션 - 가우시안 필터의 처리 알고리즘과 그 효과 -

니시즈미 공방 -【이미지 처리】가우시안 필터의 원리·특징·계산식-

Daily Tech Blog - Gaussian Filter를 사용하여 이미지를 능가합니다. -

htsuda.net - 공간 필터링에 의한 평활화 및 에지 검출 -

Qiita - Python 3 : 3 차원 그래프를 작성하는 방법 (matplotlib, pyplot, mplot3d, MPL)-

Qiita - OpenCV에서 이미지의 평활화를 시도했습니다 -